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(UERJ) Um conjunto de 100 copos descartáveis, dispostos em um suporte, serão usados em uma festa. Considere, agora, as seguintes informações:

– sempre se tenta retirar apenas 1 copo de cada vez desse suporte;

– quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 2 saem juntos, 1 deles é desperdiçado;

– quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 3 saem juntos, 2 deles são desperdiçados;

– quando se tenta retirar 1 copo, nunca saem 4 ou mais de 4 juntos;

– foram retirados todos os copos desse suporte, havendo desperdício de 35% deles.

– a razão entre o número de vezes em que foram retirados exatamente 2 copos juntos e o número de vezes em que foram retirados exatamente 3 juntos foi de 3 / 2 .

O número de vezes em que apenas 1 copo foi retirado do suporte é igual a:

(A) 30                             (B) 35                           (C) 40                    (D) 45

x = quantidades de vezes que se retirou apenas 1 copo (0 desperdício)

y = quantidades de vezes que se retirou 2 copos (y desperdícios)

z = quantidades de vezes que se retirou 3 copos (2z desperdícios)

Total de copos retirados exceto os de "apenas 1 copo" = 2y + 3z

Total de copos desperdiçados = y + 2z = 35% de 100 = 35.

Como y / z = 3 / 2 ,  temos:

2y = 3z  e  y = 35 - 2z

Então:

2(35 - 2z ) = 3z

70 - 4z = 3z

z = 10

y = 35 - 20 = 15.

Segue que : 2y + 3z = 2(15) + 3(10) = 30 + 30 = 60.

Assim, a quantidade de vezes que se retirou apenas um copo é x = 100 - 60 = 40 (alternativa C)

(UERJ - adaptado) Considere um conjunto de 8 crianças: 4 meninos e 4 meninas. A partir desse conjunto, podem-se formar n grupos, não vazios, que apresentam um número igual de meninos e de meninas. O maior valor de n é equivalente a:

(A) 45                        (B) 56                        (C) 69                       (D) 81  

Solução: Podemos formar: grupos (subconjuntos) de 1 menino e 1 menina, ou, grupos de 2 meninos e 2 meninas, ou, grupos de 3 meninos e 3 meninas, ou, grupos de 4 meninos e 4 meninas .

Pela análise combinatória  o maior valor de n = C_4,1×C_4,1 + C_4,2×C_4,2 + C_4,3×C_4,3 + C_4,4×C_4,4 =

4×4 + 6×6 + 4×4 + 1×1 =  16 + 36 + 16 + 1 = 69 (opção C).

1^a) multiplicar o número pensado por 5

2^a) adicionar 6 ao resultado

3^a) multiplicar a soma obtida por 4

4^a) adicionar 9 ao produto

5^a) multiplicar a nova soma por 5

João comunicou que o resultado é igual a K. As operações que Nicole deve efetuar com K, para "adivinhar" o número pensado, equivalem às da seguinte expressão:

(A) (K – 165) : 100            (B) (K – 75) : 100               (C) K : 100 + 165              (D) (K + 165) : 100

Então temos: [(5x + 6)×4 + 9]×5 = K

Segue que:

20x + 24 + 9 = K/5

100x + 165 = K

x = (K - 165) / 100 ( opção A).

J / 20000 = M / 30000 = 7500 / 50000 = 0,15

J = 20000 × 0,15 = 3000

M = 30000 × 0,15 = 4500

Assim, João lucrou R$ 3.000,00 e Mario lucrou R$ 4.500,00.

a) Caio e José         b) Caio e Adriano          c) Adriano e Caio          d) Adriano e José        e) José e Adriano

	Irmão  mais novo	Irmão do meio	Irmão mais velho
possibilidade 1	Adriano	Caio	José
possibilidade 2	Adriano	José	Caio
possibilidade 3	Caio	Adriano	José
possibilidade 4	Caio	José	Adriano
possibilidade 5	José	Adriano	Caio
possibilidade 6	Jose	Caio	Adriano

Observe que as possibilidades 4, 5 e 6 entram em contradição com a primeira afirmação: "ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço".

Como na segunda afirmação temos que "ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho", então,  José não é o mais velho. Assim, as possibilidades 1 e 3, entram em contradição com a segunda afirmação. Logo, o resultado procurado encontra-se na possibilidade 2, ou seja, o mais velho é o Caio e o mais novo é o Adriano (alternativa b).