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(UFRJ) Os 18 retângulos que compõem o quadrado a seguir são todos congruentes.

Sabendo que a medida da área do quadrado é 12 cm2, determine o perímetro de cada retângulo.

Solução:  Seja x o comprimento e y a largura de cada um dos 18 retângulos.

Então, o lado do quadrado é 6y  = 3x. Isto significa que x = 2y.

O perímetro de cada retângulo é 2x + 2y = 2x + x = 3x.

Como a área do quadrado é 12 cm2 , segue que o lado quadrado é Ö12 = 2Ö3 cm.

Logo, 6y = 3x = 2Ö3 . Assim, o perímetro de cada retângulo é 3x = 2Ö3 cm.

Se considerarmos Ö3  = 1,73, aproximadamente, então, o perímetro de cada retângulo mede 3,46 cm.

(UFRJ) O painel de um automóvel indica o consumo médio de combustível da seguinte forma:

12,5 L / 100 km

Determine quantos quilômetros esse automóvel percorre, em média, com 1 litro desse combustível.

Solução: Temos a proporção: 12,5  / 100 = 1 / x

Como , numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, segue que:

12,5x = 100

x = 100 / 12,5 = 1000 / 125 = 8

Assim, com 1 litro, esse automóvel percorre 8 km.

(UFRJ) Dois estados produzem trigo e soja. Os gráficos abaixo representam a produção relativa de grãos de cada um desses estados.

gráfico de setor circular

a) A produção de trigo do estado A corresponde a que porcentagem da produção de grãos do estado?

b) É possível afirmar, a partir dos gráficos, que a produção total de trigo do estado A é maior do que a do estado B? Justifique sua resposta.

Solução: Temos dois gráficos de setor circular. O setor circular (a região escura do círculo) representa a produção de soja. O restante do círculo representa a produção de trigo.

a) Passando as frações para a forma percentual, temos que 4 / 5 = 0,8 = 80%. Logo, a produção de trigo do estado A corresponde a 80% da produção de grãos de A.

b) Temos que 4 / 5 = 80% e 2 / 3 = 0,666... = 66%, então 4 / 5 é maior que 2 / 3, no entanto, NÃO É POSSÍVEL AFIRMAR que a produção total de trigo do estado A é maior do que a do estado B.

De fato, se 4 / 5 de A é igual 2 / 3 de B temos: 4A / 5 = 2B / 3, o que implica em 12A = 10B. Segue que 1,2A = B, ou seja, a produção de B é 20% maior que a de A.
Assim, 2 / 3 da produção total de B representarão mais que 4 / 5 de A, se a produção total de B for superior à de A em mais de 20%, caso contrário, teremos que 4 / 5 de A é maior que 2 / 3 de B.

(UFRJ) Um campeonato de futebol foi disputado por 10 equipes em um único turno, de modo que cada time enfrentou cada um dos outros apenas uma vez.

O vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor não ganha ponto algum; em caso de empate, cada equipe ganha 1 ponto.

Ao final do campeonato, tivemos a seguinte pontuação (observe a tabela):

equipes pontos
1 20
2 10
3 14
4 9
5 12
equipes pontos
6 17
7 9
8 13
9 4
10 10

Determine quantos jogos desse campeonato terminaram empatados.

Solução: Seja G o número de partidas com vitórias e E o número de partidas empatadas. O número de  jogos é o número de combinações de 2 elementos escolhidos entre 10 elementos, ou seja, C10,2 = 10 × 9 / 2! = 45.

O número total de pontos é: 20 + 10 + 14 + 9 + 12 + 17 + 9 + 13 + 4 + 10 = 118.

Assim, para o total de pontos temos 118 = 3G + 2E , e para o total de jogos temos 45 = G + E.

Resolvendo este sistema de equações, obtemos E = 45 - G. Segue que: 118 = 3G + 2(45 - G).

Daí, vem que: 118 = G + 90 e G = 28. Logo, E = 45 - 28 = 17.

Portanto, terminaram empatados 17 jogos.

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