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(UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo:

Às folhas tantas de um livro de Matemática,

um Quociente apaixonou-se um dia doidamente

por uma Incógnita.

Olhou-a com seu olhar inumerável

e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar;

olhos rombóides, boca trapezóide,

corpo retangular, seios esferóides.

Fez da sua uma vida paralela à dela,

até que se encontraram no Infinito.

"Quem és tu?" – indagou ele em ânsia radical.

"Sou a soma dos quadrados dos catetos.

Mas pode me chamar de hipotenusa."

(Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.)

A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta:

(A) "Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa."

(B) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa."

(C) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa."

(D) "Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa."

Solução: Se um triângulo é um triângulo retângulo de lados x, y e  z, onde x é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90o), y e z são os catetos, então vale sempre a relação: x2 = y2 + z2 . Portanto, este teorema, conhecido como Teorema de Pitágoras, diz que o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos (alternativa D).
(UERJ) Uma folha de papel retangular, como a da figura 1, de dimensões 8cm×14cm, é dobrada como indicado na figura 2.

Dobradura de papel. A área do polígono ADCEB é a área do trapézio AECD menos a área do triângulo ABE
Se o comprimento CE é 8cm, a área do polígono ADCEB, em cm², é igual a:
(A) 112              (B) 88                 (C) 64             (D) 24              

Solução: Temos que AB = 8cm e BC = BE + CE. Como CE = 8cm e BC = 14cm, vem que, BE = 6cm. Na figura 2 a dobradura contruiu um triângulo retângulo ABE de hipotenusa AE dentro de um trapézio AECD.
A área do trapézio é o produto da média aritmética das bases pela altura, ou seja, At = (14 + 8)×8 / 2 = 22×8 / 2 = 88cm².
A área do triângulo é a metade do produto dos catetos, isto é, AD = 6×8 / 2 = 24cm².
Assim, a área do polígono ADCEB é a área do trapézio AECD menos a área do triângulo ABE.
Logo, a área procurada é 88 - 24 = 64 cm². Concluindo, a opção (C) é a correta.
(Cesgranrio - adaptado) Durante a copa do mundo de futebol, que foi disputada por 32 países, as tampinhas de um famoso refrigerante traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: 1o Brasil, 2o Alemanha, 3o Itália). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?
Solução: Para a escolha do 1o lugar temos 32 seleções. Para ecolha do 2o lugar temos 31 seleções. Para escolha do 3o lugar temos as 30 seleções restantes. Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem (PFC), poderiam existir  32×31×30 = 29760 tampinhas diferentes.
Uma empresa distribui a cada candidato a emprego um questionário com três perguntas. Na primeira, o candidato deve declarar sua escolaridade, escolhendo uma das cinco alternativas. Na segunda, deve escolher, em ordem de preferência, três de seis locais onde gostaria de trabalhar. Na última, deve escolher os dois dias da semana em que quer folgar. Quantos questionários com conjuntos diferentes de respostas pode o examinador encontrar?
Solução: Primeira etapa: 5 possibilidades. Segunda etapa: número de arranjos de 3 elementos escolhidos entre 6 elementos, ou seja, 6×5×4 = 120 possibilidades. Terceira etapa: número de combinações de 2 elementos escolhidos entre 7 elementos, ou seja, C7,2 = (7×6) / 2! = 7×6 / 2 = 21 possibilidades. Então, pelo PFC, pode o examinador encontrar 5×120×21 = 12600 questionários.
(UERJ) Numa cidade, os números telefônicos não podem começar por zero e têm oito algarismos, dos quais os quatros primeiros constituem o prefixo.

Considere que os quatros últimos dígitos de todas as farmácias são 0000 e que o prefixo da farmácia Vivavida é formado pelos dígitos 2, 4, 5 e 6, não repetidos e não necessariamente nesta ordem.

O número máximo de tentativas a serem feitas para identificar o número telefônico completo dessa farmácia equivale a:
(A) 6              (B) 24                (C) 64            (D) 168             

Solução: Temos 4 possibilidades de escolha para o primeiro dígito do prefixo. Para o segundo dígito temos 3 possibilidades, pois um algarismo já foi escolhido para o primeiro dígito. Para o terceiro temos 3 possibilidades de escolha, pois dois já foram escolhidos. Para o quarto temos 1 possibilidade. Como os quatro últimos dígitos são 0000, temos 1 possibilidade para cada um dos quatro últimos. Assim, pelo PFC, o número máximo de tentativas é 4×3×2×1×1×1×1×1 = 24. Portanto, (B) é a opção correta.
(MESP) Um quiliógono é um polígono de 1000 lados. Quantas diagonais tem um quiliógono convexo?
Solução: Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não consecutivos do polígono. O número de diagonais d de um polígono convexo de n lados (portanto de n vértices) é o número de combinações de 2 vértices escolhidos entre n vértice menos o número n de lados, ou seja, d = Cn,2 - n =  [n(n-1)/2!] - n . Simplificando a expressão, vem que d = n(n - 3)/2. Logo para n = 1000, teremos: d = (1000×997) / 2 = 498.500 diagonais.
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