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Para que serve a trigonometria? Por exemplo, a trigonometria serve para resolver o seguinte problema: O teodolito, é um instrumento capaz de medir ângulos,  muito usado por agrimensores, engenheiros e topógrafos no cálculo de distâncias inacessíveis. Este instrumento ótico mede ângulos horizontais e verticais com suas duas escalas circulares graduadas em graus.
Para calcular a altura de um prédio, o topógrafo colocou seu teodolito na praça em frente. Ele mediu a distância do prédio ao teodolito com uma trena e encontrou 27 m. Mirando o alto do prédio, ele verificou, na escala do teodolito, que o ângulo formado por essa linha visual com a horizontal é de 58 graus. Se a luneta do teodolito está a 1,7 m do chão, qual é a altura do prédio? (Considere sen 58o = 0,84 e cos 58o = 0,53)
Solução: Na figura a seguir,  AB = CD = 1,7 é a altura do instrumento e CE = x + 1,7 é a altura do prédio.

Teodolito

No triângulo retângulo BDE formado, BE é a hipotenusa , DE = x  é o cateto oposto ao ângulo de 58 graus, BD = 27 é o cateto adjacente ao ângulo de 58 graus.
Trabalhando com as razões trigonométricas seno, coseno (ou cosseno) e tangente, temos:
sen 58o = DE / BE ; cos 58o = BD / BE ; tg 58o = DE / BD = x / 27.
Como, tg 58o = sen 58o / cos 58o = 0,84 / 0,53 = 84 / 53 = 1,6 aproximadamente, podemos ter a proporção: x / 27 = 0,84 / 0,53 = 1,6.

Daí, vem que: x = 27 × 1,6 = 43,2. Logo a altura do prédio é : 43,2 + 1,7 = 44,9 m..

Uma torre vertical, construída sobre um plano horizontal tem 25 metros de altura. Um cabo de aço, esticado, liga o topo da torre até o plano, formando com o mesmo, um angulo de 60°. Qual é o comprimento do cabo?
Solução: Temos um triângulo retângulo de hipotenusa x e cateto de medida 25m oposto ao ângulo de 60°.
Como o sen 60° = = 25 / x , segue que o comprimento (em metros) do cabo é :
x = 50/Ö3 = 50(Ö3)/3 .

Se considerarmos   Ö3 = 1,7 , então x = 28,4m.

(UERJ) Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura abaixo.
navegação marítima (ciências nauticas) (Adaptado de BONGIOVANNI, Vincenzo et alli. Matemática e Vida. São Paulo, editora Ática, 1990).

No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30 o com a direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60 o com a mesma direção AB. Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a embarcação e o farol será equivalente, em metros, a:
(A) 500              (B) 500Ö3                (C) 1.000            (D) 1.000Ö3              

Solução: A menor distância do barco ao farol é o segmento de reta perpendicular a direção AB que forma os triângulos retângulos de hipotenusa BP e AP. Seja y a distância do barco ao farol e seja x a distância do barco ao ponto B.
A razão trigonométrica y / x é a tangente do ângulo de 60 o.
De modo análogo, a razão y / (1000 + x) é a tangente de 30 o.
Como a tg60 o = Ö3 e tg30 o = (Ö3) / 3 , vem que, y = xÖ3 .
Então, (Ö3) / 3 = y / (1000 + x) = (xÖ3) / (1000 + x).
"Multiplicando em cruz" e depois divindindo ambos os membros da equação pela Ö3, ficamos com 1000 + x = 3x.
Segue que , 1000 = 2x , logo x = 500.
Assim, y = 500Ö3. A alternativa (B) é a correta.

Nota: Considerando Ö3 = 1,7, teremos para resultado y = 850 m.

(PRF) Os vértices do triângulo PRF da figura abaixo representam, respectivamente, uma papelaria, uma relojoaria e uma farmácia, estando as distâncias representadas em metro:
A distância entre a papelaria e a farmácia, em km, é:

(A) 0,0007        (B) 0,007          (C) 0.07          (D) 0,7           (E) 7,0

Solução: Seja x a medida do segmento PF. Pela lei dos cossenos:  x2 = 82 + 32 - 2(8)(3)cos 60o = 64 + 9 - 48×½ = 73 - 24 = 49. Como a raiz quadrada de 49 é 7 , vem que, x = 7 m = 0,007 km. Logo, (B) é a alternativa correta.

De outra maneira, poderíamos usar a condição de existência do triângulo (desigualdade triangular): |8-3| < x < |8+3|. Segue que: 5m < x < 11m. Isto implica em: 0,005km < x < 0,011km. Logo, (B) é a opção correta.

(UEMA) Uma indústria que está se instalando às margens de uma rodovia precisa trazer energia elétrica para as suas dependências. O local mais próximo onde há rede elétrica é um ponto inacessível momentaneamente por meio terrestre; mas visível de onde se instalará a indústria. A indústria contrata uma firma especializada para elaborar o projeto da linha de transmissão de energia e essa firma, equipada com instrumentos, que possibilitam a medição de ângulos, e com uma trena, efetua as medições constantes da figura abaixo, em que A é o ponto onde se localizará a indústria e C é o ponto de ligação à rede elétrica já existente.

A distância em “linha reta” da indústria ao ponto de interligação à rede elétrica é ?

Solução: Construindo, no DABC, a altura CH, relativa ao lado AB, temos:

problema de geometria resolvido por construção

1000 = AH + BH = x cos 45o + y cos 60o = xÖ2/2 + y/2

CH = h = y sen 60o = x sen 45o, o que implica em y = xÖ2/Ö3

então, 2000 = xÖ2 + xÖ2/Ö3

Logo, o valor procurado, em metros, é  x = (2000Ö3) / (Ö2)(Ö3 + 1) = (1000Ö6) / (Ö3 + 1).
Se considerarmos Ö6 = 2,45 e Ö3 = 1,732 , teremos x = 896 m.

(PUC-SP) Sabe-se que q é a medida em graus de um dos ângulos internos de um triângulo retângulo.
Se sen q = k+1/2, cos q = k e a hipotenusa do triângulo mede 20 cm, determine a sua área.
Solução: Sendo y o cateto oposto ao ângulo e x o cateto adjacente ao ângulo, temos que:
sen q = y /20 = k + 1/2 e cos q = x/20 = k
Então: y = 20k + 10 e x = 20k
Usando o Teorema de Pitágoras , ficamos com: sen2 q + cos2 q = 1 , ou seja, (k + 1/2)2 + k2 = 1
O que implica em: 8k2 + 4k - 3 = 0
Resolvendo esta equação encontramos:
k = -1/4 - (Ö7)/4 (não serve)
ou
k = -1/4 + (Ö7)/4
Logo: x = (-5 + 5Ö7) cm e y = (5 + 5Ö7) cm
Assim, a Área = xy/2 =  150/2 = 75 cm2.
Observe o ciclo trigonométrico:
ciclo trigonométrico Calcule:

sen 150° = .....................

cos 225° = .....................

sen 1950° = ..........

Solução: A medida do raio do círculo trigonométrico é 1. Assim , as hipotenusas dos triângulos retângulos formados pelos ângulos na figura  mede 1. Como resultado, temos que o seno do ângulo fica no eixo vertical e o cosseno fica no eixo horizontal.

Como p radianos  (3,14 radianos aproximadamente) = 180 graus, fazendo uma regra de três, segue que:

sen 150° = sen (5p/6) = 1/2

cos 225° = cos (5p/4) = (-Ö2) / 2

Como 1950° = 5×360° + 150°, descontando as voltas, temos:

sen 1950° = sen 150° = sen (5p/6) = 1/2.

(UERJ) Você sabia? Se o valor de x estiver expresso em radianos, os valores de sen x e cos x podem ser representados, respectivamente, por : sen x @ x e cos x @ 1 - x2 / 2.

A partir da informação acima, assinale a opção que contém o valor máximo da expressão: sen x + cos x.
(A) 1                 (B) -1               (C)3/2                   (D)-3/2

Solução: Seja a função trigonométrica f(x) = sen x + cos x.

f(x) = sen x + cos x

Se o valor de x está expresso em radianos, então podemos considerar, aproximadamente,
f(x) = x + 1 - x2 / 2 = (-x2 / 2 )+ x + 1 , que é uma função quadrática (polinômio do segundo grau).

Parábola

Temos que o valor máximo de uma função f(x) = ax2 + bx + c , é -D / 4a, onde D = b2 - 4ac. Calculando delta encontramos D = (1)2 - 4(-1 / 2)(1) = 3. Assim, o valor máximo da expressão é:  (-3) / 4(-1 / 2) = (-3) / (-2) = 3 / 2. Logo, (C) é a alternativa correta.

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