Prof. Ezequias - Matemática

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Um problema tirado do livro de Sun Tzu Suan Ching (escrito entre 280 d.C. a 483 d.C.): Numa gaiola há galinhas e coelhos. Em cima estão 35 cabeças e em baixo 94 pés. Quantas galinhas e coelhos estão na gaiola?

Solução: Considerando x = número de galinhas e y = número de coelhos, podemos usar o sistema de equações:

x + y = 35

2x + 4y =94

Resolvendo pela método da substituição:

x = 35 - y

2(35 - y) + 4y = 94

70 - 2y + 4y = 94

70 + 2y = 94

2y = 94 - 70

2y = 24

y = 12

x = 35 - 12

x = 23

Logo, na gaiola há 23 galinhas e 12 coelhos.

(PEBII-SP) Em um artigo da Revista do Professor de Matemática, o professor Elon Lages Lima justifica a importância do estudo de sistemas lineares e discute o equívoco em se utilizar a Regra de Cramer para discutir se um sistema é possível ou impossível. Dessa forma, o professor aconselha a resolver sistemas por escalonamento ou interpretação geométrica. No artigo, o professor Elon cita o sistema:

sistema de 3 equações com 3 incógnitas

Pode-se afirmar que o sistema é:

(A) impossível.

(B) possível e indeterminado.

(D) possível e determinado com o produto das soluções igual a 28.

(E) possível e determinado com a soma das soluções igual a 15.

Solução: Vamos resolver este sistema pelo método do escalonamento (ou eliminação de Gauss). Neste método, vai se transformando o sistema dado em outros sistemas equivalentes, que possuem a mesma solução, até chegar a um sistema (escalonado) de resolução imediata e simples. Para isso, podemos usar apenas os coeficientes e os termos independentes, construindo uma matriz completa associada a este sistema.

matrizes equivalentes por linhas

Observe que a segunda linha da matriz foi multiplicada por -1/2 e a terceira linha foi multiplicada por -1/3. Em seguida, a segunda linha foi substituída pela sua soma com a primeira linha e, a terceira linha foi substituída pela sua soma com a primeira linha. Assim, temos o sistema dado transformado num sistema equivalente.

No sistema equivalente, na terceira equação 0x + 0y + 0z = -1/3, temos uma contradição, pois o produto de qualquer número por zero é igual a zero. Assim, o sistema dado não tem solução, ou seja, é impossível (alternativa A).

(UDESC) Calcule os valores de x, y e z que solucionam o sistema de equações lineares abaixo.

sistema de 3 equações com 3 incógnitas

Solução: Vamos escalonar o sistema construindo uma matriz completa associada a este sistema e executar operações elementares sobre as linhas da matriz.

i) Troca entre si de duas linhas da matriz;

ii) Multiplicação de uma linha da matriz por um número real diferente de zero.

iii) Substituição de uma linha pela sua soma (ou diferença) com uma linha multiplicada por um número real não nulo.

matrizes equivalentes por linhas

Assim, no sistema equivalente temos que:

-4z = 4

z = -1

-4y + 4(-1) = -16

y = 3

3x + 3(3) - 3(-1) = 18

x = 2.

Logo, o sistema possui como solução: x = 2 ; y = 3 e z = -1.

Resolva o sistema: 2x + y = 5 e x² - y² = 8

Solução: Vamos resolver o sistema usando o método da substituição:

sistema do segundo grau, onde x=3 e y=-1, ou, x=11/3 e y=-7/3

Observe que as soluções deste sistema, são os pontos de interseção da reta 2x + y = 5 com a hipérbole x² - y² = 8.

geometria analítica

Assim, pela geometria analítica, os pontos de coordenadas cartesianas (3 , -1) e (11/3 , -7/3), são as soluções deste sistema.

(CBMERJ) Se (x ; y) é a solução do sistema:

Então x + y é:

(A) -1 / 2 (B) 1 / 5 (C) 2 / 3 (D) 7 / 2 (E) 5

Solução: Fazendo 1 / x = a e 1 / y = b , teremos o sistema de equações:

4a + 3b = 4

2a - 6b = -3.

Multiplicando a primeira equação por 2 , ficamos com o sistema:

8a + 6b = 8

2a - 6b = -3.

Somando as duas equações (método da adição), segue que: 10a = 5, então: a = 5/10 = 1/2.

Substituindo na primeira equação, vem que: 8(1/2) + 6b = 8 , o que implica: 4 + 6b = 8.

Logo, b = 4/6 = 2/3.

Assim, x = 2 e y = 3/2.

Logo, x + y = 2 + (3/2) = (4 + 3) / 2 = 7/2. (alternativa (D)

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