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Observando uma curva (o gráfico abaixo) que aparecia no monitor de um aparelho médico, João pensou se ela poderia ou não representar uma função.

osciloscópio

Qual a informação que você daria a João?

Solução: O gráfico pode representar uma função, pois, para todo x, existe uma única imagem y. Observe que qualquer reta paralela ao eixo dos y (reta vertical) corta a curva (o gráfico) em um único ponto.

(UFRN) A academia Fique em forma cobra uma taxa de inscrição de R$80,00 e uma mensalidade de R$50,00. A academia Corpo e Saúde cobra uma taxa de inscrição de R$ 60,00 e uma mensalidade de R$55,00.

a) Determine as expressões algébricas das funções que representam os gastos acumulados em relação aos meses de aulas, em cada academia.

b) Qual academia oferece menor custo para uma pessoa que pretende "malhar" durante um ano? Justifique, explicando o seu raciocínio.

Solução: Seja y o gasto e x o número de meses de aula.

a) Na Fique em forma temos a função y = 50x + 80.

Na Corpo e saúde temos a função y = 55x + 60.

b) Na academia Fique em forma, "malhar" 1 ano (12 meses) custa y = 50(12) + 80 = 600 + 80 = 680, 00.

Na academia Corpo e saúde, "malhar" 1 ano (12 meses) custa y = 55(12) + 60 = 660 + 60 = 720,00.

Logo, a Fique em forma oferece menor custo para quem pretende malhar durante 1 ano.

(UERJ) Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao Maracanã 90.000 torcedores. Três portões foram abertos às 12 horas e até as 15 horas entrou um número constante de pessoas por minuto. A partir desse horário, abriram-se mais 3 portões e o fluxo constante de pessoas aumentou. Os pontos que definem o número de pessoas dentro do estádio em função do horário de entrada estão contidos no gráfico abaixo:

Função Afim

Quando o número de torcedores atingiu 45.000, o relógio estava marcando 15 horas e:

(A) 20 min

(B) 30 min

(C) 40 min

(D) 50 min

Solução: Antes das 15 horas temos uma função do primeiro grau que cresce com menor rapidez. A partir das 15 horas o gráfico é uma função do primeiro grau que cresce com maior rapidez.

Para x = 15, y = 30000. Para x = 17, y = 90000. Como y = ax + b, temos o sistema:

30000 = 15a + b  

e

90000 = 17a + b

Uando o método da adição, segue:

60000 = 2a

a = 30000

Susbstituindo na primeira:

30000 = 15(30000) + b

b = - 420000

Então a função é y = 30000x - 420000.

Quando y = 450000, temos:

45000 = 30000x - 420000

45000 + 420000 = 30000x

x = 465000 / 30000 = 15,5 horas = 15 horas + 0,5 horas

x = 15 horas e 30 minutos (alternativa B).

Sejam as retas: y = 2x - 3 e y = x - 2. Em que ponto do plano cartesiano estas retas se encontram?

Solução: As retas se encontram no ponto (x , y),

Duas retas

onde o par de números reais x e y é solução do sistema de equações:

y = 2x - 3

e

y = x - 2 .

Então: 2x - 3 = x - 2. segue que, 2x - x =  -2 + 3 , o que implica em x = 1.

Substituindo x = 1 em uma das equações do sistema, temos: y = 1 - 2 = -1. Logo, as retas se encontram no ponto (1 , -1).

No Brasil, as temperaturas são medidas em graus Celsius. Nos Estados Unidos, elas são medidas em outra escala: em graus Fahrenheit (ou Farenheit). Podemos relacionar a escala americana com a que usamos aqui, por meio da função: y = (9/5)x + 32 , onde x é a temperatura em graus Celsius e y é a temperatura em graus Fahrenheit.

a) Se na escala Celsius, a água ferve a 100 graus, calcule na escala Fahrenheit a temperatura que a água ferve.

b) Se na escala Celsius, a água congela a zero graus, calcule na escala Fahrenheit a temperatura que a água congela.

c) Se na escala Celsius a temperatura do corpo humano é de 36,5 graus, calcule esta temperatura na escala Fahrenheit.

d) Qual a temperatura em graus Celsius de uma cidade européia que está com a temperatura de zero graus Fahrenheit?

Solução: Para cada temperatura x em graus Celsius, existe uma única temperatura y em graus Fahrenheit. Dizemos então que y está em função de x por meio da equação: y = (9/5)x + 32.

Gráfico da função y = 1,8x + 32

a) Para x = 100 graus Celsius, temos y = (9/5)(100) + 32 = 900/5 + 32 = 180 + 32 = 212 graus  Fahrenheit.

b) Para x = 0 graus Celsius, temos y = (9/5)(0) + 32 = 0 + 32 = 32 graus Fahrenheit.

c) Para x = 36,5 graus Celsius, temos y = (9/5)(36,5) + 32 = 328,5/5 + 32 = 65,7 + 32 = 97,7 graus Fahrenheit.

d) Para y = 0, temos (9/5)x + 32 = 0. Resolvendo esta equação, temos:

(9/5)x = -32

9x = -160

x = -160 / 9 = - 17,777... graus Celsius.

Se f(x) = 2x + 3 ,  g(x) = ax+b  e  a função composta f(g(x)) = 8x + 7 , calcule a + b.
Solução: Se a função f(x) composta com g(x) é 8x + 7, temos:

f(g(x)) = 2(ax + b) + 3 = 2ax + 2b + 3 = 8x + 7.

Daí vem que:

2a = 8 e 2b + 3 = 7

Assim,

a = 4  e b = 2.

Logo, a + b = 6.

Dada a função quadrática y = -x2 + 6x - 1 , para todo x ³3 e y£8. Calcule a função inversa.

Solução: Como, na função, os elementos distintos do seu domínio restrito (x ³3 e y£8) possuem imagens distintas e o conjunto imagem é igual ao contradomínio, então a função é bijetora (ou bijetiva), portanto, neste domínio, existe uma função inversa.

Na equação y = -x2 + 6x - 1 , passando o y para o outro membro, segue que:

Trocando x pelo y, encontramos a função inversa:

Observe, no gráfico, a simetria em relação a reta y = x (bissetriz do primeiro e do terceiro quadrantes).

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