De um grupo de 50 jovens, 20 praticam basquete. Determine
a razão entre o número de pessoas que jogam basquete e o
total.
Solução: A razão é 20/50
= 2/5 , o que equivale a dizer que "de cada 5 jovens neste grupo, 2
jogam basquete".
Na bula de um determinado remédio pediátrico
recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg do "peso" da
criança. Se uma criança tem 12 kg, qual a dosagem
correta?
Solução: 5 gotas está para 2 kg
assim como x gotas está para 12 kg. Assim, 5/2 = x/12.
Então 2x = 60, logo x = 30 gotas. Este
procedimento é usualmente chamado de " REGRA DE TRÊS SIMPLES
".
Foram empregados 24 kg de fio para tecer 120 m de
fazenda de 0,82 m de largura. Quantos metros da mesma fazenda, de 1,23 m
de largura serão tecidos com 30 kg do mesmo fio?
Solução: Vamos comparar cada grupo de
grandezas com o grupo em que estiver o termo desconhecido x. Se
aumentarmos o comprimento da fazenda (considerando que largura não
varia), o "peso" da fazenda aumenta (diretamente proporcional). Se
aumentarmos a largura (considerando que o "peso" não varia),
o comprimento deve diminuir (inversamente proporcional). Então,
a razão desse grupo de grandezas inversamente proporcionais deve ser
invertida, a fim de tomar o mesmo sentido das grandezas diretamente
proporcionais. Conserva-se a razão que tem x e multiplicam-se
entre si as demais razões:
O procedimento adotado nesse exemplo é comumente chamado de "REGRA
DE TRÊS COMPOSTA".
Três pessoas formaram uma sociedade, A entrou
com R$ 24.000,00; B com R$ 30.000,00 e C com R$ 36.000,00. Depois de três
meses tiveram um lucro de R$ 60.000,00. Calcule o lucro de cada
sócio.
Solução: Para cada sócio, a razão
entre o lucro e o dinheiro investido é
igual a razão entre o lucro total da sociedade e o total investido
pela sociedade. Então:
Assim, A/24000 = B/30000 = C/36000 = 2/3.
Logo: A = R$ 24.000,00 × 2/3 = R$ 16.000,00 ; B = R$ 30.000,00
× 2/3 = R$ 20.000,00 ; C = R$ 36.000,00 × 2/3 = R$ 24.000,00.
Este procedimento é usualmente chamado de "REGRA DE SOCIEDADE " ou
DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS.
(TRE) Para executar a tarefa de manutenção
de 111 microcomputadores, três técnicos judiciários dividiram
o total de microcomputadores entre si, na razão inversa de suas
respectivas idades: 24, 30 e 36 anos. Assim sendo, quanto recebeu o técnico
de 30 anos?
Solução: Sejam A, B e C as respectivas
idades.
Então:
Logo: 24A = 30B = 36C = 1080
A = 1080/24 = 45
B = 1080/30 = 36
C = 1080/36 = 30 . Assim, a resposta procurada é 36.
Este procedimento é usualmente chamado de DIVISÃO EM PARTES
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Uma miniatura de um automóvel foi construída
na escala 1 : 40. As dimensões da miniatura são: comprimento
12,5 cm e largura 5 cm. Quais as dimensões reais do
automóvel?
Solução: Seja x o comprimento real
e y o largura real. Temos que a razão entre a minutura e o
tamanho real é 1/40. Como a miniatura é diretamente proporcional
ao tamanho real, temos as proporção: 1/40 = 12,5/x =
5/y. Daí, vem que: x = 40 × 12,5 = 500 cm = 5 m
; y = 40 × 5 = 200 cm = 2 m.
Um garoto de 1m de altura projeta uma sombra de 0,5
m. No mesmo instante, um edifício projeta uma sombra de 9 m. Qual
é altura do edifício?
Solução: Seja x a altura do edifício. A altura
e a sombra são grandezas diretamente proporcionais. Então,
temos a proporção: 1 / 0,5 = x / 9. O que implica em
x = 9 / 0,5 = 90 / 5 = 18 m
Por outro lado, como a sombra e a altura formam um ângulo de 90 graus,
segue que a sombra e a altura são catetos de um triãngulo
retângulo. Logo, temos dois triângulos
retângulos semelhantes. Pelo Teorema de Tales, os lados
correspondentes dos triângulos semelhantes são proporcionais.
Então, temos a proporção: 1 / 0,5 = x / 9.
Assim, x = 9 / 0,5 = 90 / 5 = 18 m
(ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura
mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste
mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50cm, a sombra da
pessoa passou a medir quanto?
Solução: Temos que 2,00 m = 200
cm e 1,80 m = 180 cm. Como a altura e a sombra são grandezas diretamente
proporcionais, temos a proporção: 180/60 = H/200, onde H é
a altura do poste. Vem que, 3 = H/200 , o que implica em: H = 3 ×
200 = 600 cm. Mais tarde teremos a proporção: 180/x
= 600/(200-50) = 600/150 = 4.
Então, 180 =
4x. Logo: x = 180/4 = 45 cm.
Este problema poderia ser resolvido de outra maneira. Observe que a sombra
do poste diminuiu de 50/200 = 1/4. Então a sombra da pessoa também
diminuiu de 1/4. Segue que a sombra da pessoa diminuiu de 1/4 × 60 =
15.
Logo, a sombra da pessoa passou a medir: 60 - 15 = 45 cm.
Em 12 dias de trabalho, 16 costureiras fazem 960
calças. Em quantos dias 12 costureiras poderão fazer 600
calças iguais às primeiras?
| Solução: Seja x o número
de dias.
Temos que número de dias e número de costureiras
são grandezas inversamente proporcionais. Por outro lado, número
de dias e número de calças são diretamente proporcionais.
Assim, teremos a proporção:
12/x = (12/16) × (960/600) = (3/4) × (8/5) = 24/20 = 6/5.
Portanto, 12/x = 6/5 , o que implica em : 6x = 60.
Logo: x = 60/6 = 10 dias. |
| dias |
costureiras |
calcas |
12 |
16 |
960 |
x |
12 |
600 |
| dias |
costureiras |
calcas |
| aumenta |
diminui |
constante |
| diminui |
aumenta |
constante |
| dias |
calcas |
costureiras |
| aumenta |
aumenta |
constante |
| diminui |
diminui |
constante |
|
Um pai distribui R$ 50.000,00 aos seus três
filhos em partes diretamente proporcionais às suas idades, que são
4, 7, 9 anos. Quanto coube a cada um?
Solução: Sejam a, b e c as parte que cabem
a cada um. Temos a proporção: (a / 4) = (b /
7) = (c / 9) = (50.000/20) = 2500. Então: a = 4
× 2500 = R$10.000,00 ; b = 7
× 2500 = R$17.500,00 ; c = 9
× 2500 = R$22.500,00
Se 8 pedreiros constroem em 6 dias um muro de 40 m
de comprimento, quantos pedreiros serão necessários para construir,
em 14 dias, um muro de 70 m de comprimentos?
| Solução: Seja x o número
de dias.
Temos que número de pedreiros e número de dias são
grandezas inversamente proporcionais.
Por outro lado, número de pedreiros e número de
comprimento são diretamente proporcionais.
Assim, teremos a proporção:
8/x = (14/6) × (40/70) = (7/3) × (4/7) = 4/3.
Daí, vem que: 8/x = 4/3.
Logo x = 3 × 8 / 4 = 24 / 4 = 6 pedreiros. |
| pedreiros |
dias |
comprimento |
8 |
6 |
40 |
x |
14 |
70 |
| pedreiros |
dias |
comprimento |
| aumenta |
diminui |
constante |
| diminui |
aumenta |
constante |
| pedreiros |
comprimento |
dias |
| aumenta |
aumenta |
constante |
| diminui |
diminui |
constante |
|
Dez operários fazem 200 metros de um trabalho em 15 dias de 8 horas.
Quantas horas devem trabalhar por dia, 15 operários, cuja capacidade
de trabalho é duas vezes a dos primeiros, para fazerem, em 8 dias,
900 metros de outro trabalho ,cuja dificuldade seja 2/5 da dos primeiros?
Solução: Com os dados do problema, construimos as tabelas a
seguir:
As razões de grandezas inversamente proporcionais devem ser invertida,
a fim de tomar o mesmo sentido das grandezas diretamente proporcionais.
Conserva-se a razão que tem x e multiplicam-se entre si as demais
razões:
Assim, devem trabalhar 9 horas por dia.
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