Quando lançamos, ao acaso, um dado, há seis possibilidades
quanto a face que ficará voltada para cima: A probabilidade de sair
o número 5 é de 1 em 6, ou seja, 1/6 = 16,6%. A probabilidade
de sair um número ímpar é de 3 em 6, isto é,
3/6 = 1/2 = 50%. a) Qual a probabilidade de sair um número primo?
b) Qual a probabilidade de sair um número maior que 6?
c) Qual a probabilidade de sair um número menor que 7?
d) Qual a probabilidade de sair um número maior ou igual a 3?
Solução: O número de casos (resultados) possíveis (espaço amostral)
é o número de elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, isto
é, 6.
a) Número natural primo é aquele que possui apenas dois divisores:
ele mesmo e o um. O número de casos favoráveis é 3,
pois, é o número de elementos do conjunto dos primos {2, 3,
5}. Logo, a probabilidade é 3/6 = ½ = 0,5 = 50%.
b) O conjunto de resultados favoráveis é um conjunto vazio.
Assim, a probabilidade é 0/6 = 0 = 0% (evento impossível).
c) O conjunto de resultados favoráveis é um conjunto de 6 elementos
(todos os resultados possíveis). Então, a probabilidade procurada
é 6/6 = 1 = 100% (evento certo).
d) O conjunto de resultados favoráveis é o conjunto {3, 4,
5, 6}, com 4 elementos. A probabilidade vale 4/6 = 2/3 = 0,666... = 66,6%.
(UNIRIO) Num grupo de 100 pessoas, 70 têm sangue
com RH positivo e 45 têm sangue tipo O. Escolhendo-se, ao acaso, uma
pessoa desse grupo, qual é a probabilidade de o sangue dessa pessoa
ser de tipo diferente de O?
Solução: Seja x o número
de pessoas que têm sangue RH positivo e têm também sangue
tipo O. Representando os conjuntos por meios
de diagramas de Venn-Euler, vem que: 70 - x + x + 45 - x = 100.
Daí, vem que, 70 + 45 - x = 100. Então, x = 115 - 100 = 15.
Assim, o número de pessoas que têm sangue do tipo diferente
de O é: 70 - 15 = 55. Logo, num total de 100 pessoas, temos
55 possibilidades (chances) de escolha. Então, podemos dizer que a
probabilidade do sangue dessa pessoa ser de tipo diferente de O é
55/100 = 55%.
De uma outra maneira mais rápida: Como 45 têm sangue tipo O,
então, o número de pessoas que têm sangue do tipo diferente
de O é: 100 - 45 = 55.
Logo, a probabilidade é de 55 possibilidades num total de 100, isto
é, 55%.
(UFJF) Ao lançarmos dois dados a probabilidade
de obtermos resultados cuja soma é sete é:
(A) 1/2
(B) 1/3
(C) 1/4
(D) 1/5
(E) 1/6
Solução: Para cada dado lancado ao
acaso temos 6 possibilidades de resultado. Então, pelo PFC o número
de casos possíveis é 6×6 = 36.
| 1+1 |
1+2 |
1+3 |
1+4 |
1+5 |
1+6 |
| 2+1 |
2+2 |
2+3 |
2+4 |
2+5 |
2+6 |
| 3+1 |
3+2 |
3+3 |
3+4 |
3+5 |
3+6 |
| 4+1 |
4+2 |
4+3 |
4+4 |
4+5 |
4+6 |
| 5+1 |
5+2 |
5+3 |
5+4 |
5+5 |
5+6 |
| 6+1 |
6+2 |
6+3 |
6+4 |
6+5 |
6+6 |
|
O número de casos favoráveis é o número de elementos
do conjuntos de pares ordenados {(1,6) , (2,5) , (3,4) , (4,3), (5,2), (6,1)},
ou seja, é 6.
Assim, a probabilidade é P = 6/36 = 1/6 = 0,16666... = 16,6%.
Logo, a alternativa correta é a (E).
(PUC) Uma prova de múltipla de escolha tem
10 questões, com três respostas em cada questão. Um aluno
que nada sabe da matéria vai responder a todas as questões
ao acaso, e a probabilidade que ele tem de não tirar zero
é:
(A) maior do que 96%
(B) entre 94% e 96%
(C) entre 92% e 94%
(D) entre 90% e 92%
(E) menor do que 90%
Solução: Pelo princípio fundamental
da contagem (PFC), o número de maneiras distintas
de resolver esta prova é
3×3×3×3×3×3×3×3×3×3 =
310= 59049. Dizemos, assim, que 310 = 59049 é
o número de elementos do espaço amostral, ou seja,
é o número de casos possíveis.
Pelo PFC, para tirar zero, o número de maneiras é:
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 =
210 = 1024. Logo, para NÃO tirar zero o número de
maneiras de resolver esta prova é 310 - 210
= 59049 - 1024 = 58025. Dizemos, então, que 58025 é o número
de casos favoráveis. A expressão que utilizamos para o
cálculo da probabilidade (definição clássica)
é o número de casos favoráveis dividido pelo número
de casos possíveis.
Sendo P a probabilidade do aluno não tirar zero, segue que, P = 58025
/ 59049 = 0,98265847
@ 98%. Como 98% >
96%, concluimos que (A) é a alternativa correta.
Num baralho normal de 52 cartas há 13 cartas
(ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei) de cada um dos
4 naipes (copas, ouro, paus e espadas). De um baralho normal de 52 cartas
e mais 2 coringas é retirada uma carta ao acaso.
a) Qual a probabilidade de ser um valete?
b) Qual a probabilidade de ser um coringa, em jogos
que também consideram o 2 como coringa?
Solução: a) O número de casos
possíveis é 52 + 2 = 54. Como existem 4 valetes, então,
o número de casos favoráveis é 4. Sendo, P(valete) a
probabilidade de a carta ser um valete, vem que , P(valete) = 4 / 54 = 0,074
= 7,4%.
b) Como as 4 cartas com número 2 também são consideradas
coringas, o número de casos favoráveis é 4 + 2 = 6.
Assim a probabilidade de tirar um coringa é P(coringa) = 6 / 54 =
0,11 = 11%.
(UFRJ) Dispomos de quatro urnas, cada uma contendo
dez bolas numeradas de 0 a 9. Sorteando ao acaso uma bola de cada uma, formamos
um número entre 0 e 9.999. Lembrando que zero é multiplo de
qualquer número inteiro, determine a probabilidade de o número
sorteado ser múltiplo de 8.
Solução: Considere o evento A = {o
número sorteado é multiplo de 8}.
A probabilidade da ocorrência do evento A , é a razão
entre o número de casos favoráveis à ocorrência
do evento A e o número de resultados possíveis para o experimento.
Como de 0 a 9.999 podemos formar 10.000 números, o número de
resultados possíveis é 10.000.
Sendo o conjunto dos múltiplos de 8 uma PA,
onde o primeiro termo é a1 = 0 e a razão é
r = 8, vem que o último termo dessa PA é an = 9.992.
Então, 9.992 = 0 + (n-1)×8, onde n é o número
de termos. Assim, n = (9.992 / 8) + 1 = 1.249 + 1 = 1.250 que é o
número de casos favoráveis.
Portanto, a probabilidade do sorteado ser múltiplo de 8 é:
1.250 / 10.000 = 1/8 = 0,125 = 12,5%.
(MESP) Em Estatística, o desvio de cada valor
observado é a diferença entre o valor e a média
(aritmética) dos valores observados. A variância é a
média dos quadrados dos desvios. A raiz quadrada positiva da
variância é denominada desvio padrão. As idades dos 5
professores de Matemática de uma escola são 32, 35, 41, 43
e 49. Calcule a média e o desvio padrão das idades.
Solução: Calculando a média
m , encontramos m
= (32 + 35 + 41 + 43 + 49) / 5 = 200 / 5 = 40.
Calculando a variância
s2 , segue que,
s2 = [(32 - 40)2
+ (35 - 40)2 + (41 - 40)2 + (43 - 40)2+
(49 - 40)2] / 5 .
Então, s2 = [64 + 25 + 1 + 9 +
81] / 5 = 180 / 5 = 36.
Como o desvio padrão s
é a raiz quadrada de s2, concluimos
que s = 6.
(FGV) Uma companhia de seguros coletou uma amostra
de 2000 motoristas de uma cidade a fim determinar a relação
entre o número de acidentes (y) em certo período e a idade
em anos (x) dos motoristas. Os resultados estão na tabela
abaixo:
|
y = 0
|
y = 1
|
y = 2
|
y > 2
|
x < 20
|
200
|
50
|
20
|
10
|
20 £ x < 30
|
390
|
120
|
50
|
10
|
30 £ x < 40
|
385
|
80
|
10
|
5
|
|
x > 40
|
540 |
105 |
20 |
5 |
Adotando a freqüência relativa observada como probabilidade de
cada evento,obtenha:
a) a probabilidade de um motorista escolhido ao acaso ter exatamente um acidente
no período considerado.
b) a probabilidade de um motorista ter exatamente 2 acidentes no período
considerado, dado que ele tem menos de 20 anos.
Solução: Freqüência relativa
de um dado é a taxa percentual obtida
pela divisão da freqüência com que o dado aparece pelo
número total de dados. Em Estatística é usual estimar
a probabilidade pela freqüência relativa (interpretação
freqüencista das probabilidades). Assim, utilizando os dados da
tabela, temos as soluções dos itens
a) e b):
a) Somando a coluna correspondente a y = 1 (exatamente 1 acidente), encontramos:
50 + 120 + 80 + 105 = 355 casos favoráveis num total de 2000 motoristas.
Logo a probabilidade pedida é: 355 / 2000 = 71 / 400 = 0,1775 = 17,75%.
b) Somando a linha correspondente a x menor que 20 (ele tem menos que 20
anos) encontramos um total de 200 + 50 + 20 + 10 = 280 motoristas.
Na coluna correspondente a y = 2 (exatamente 2 acidentes) temos apenas 20
motoristas com idade inferior a 20 anos.
Logo, temos 20 casos favoráveis num total de 280 casos possíveis,
ou seja, a probabilidade pedida é: 20 / 280 = 1 / 14. O que corresponde
ao percentual de 7,14% aproximadamente.
(ENEM) As 23 ex-alunas de uma turma que completou
o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião
comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A
distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos,
é mostrada no gráfico abaixo.
Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A
probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a)
único(a) é
(A) 1/3.
(B) 1/4.
(C) 7/15.
(D) 7/23.
(E) 7/25.
Solução: O gráfico de barras acima mostra que 8 pessoas
não têm filhos, 7 pessoas têm 1 filho cada, 6 pessoas
têm 2 filhos cada e 2 pessoas têm 3 filhos cada. Então,
o número total de filhos é 0×8 + 1×7 + 2×6 +
3×2= 25
Já o número de filhos únicos é 1×7 = 7.
Então, o número de casos favoráveis é 7 e o
número de casos possíveis é 25. Logo, existe 7
possibilidades (chances) em um total de 25, isto é, a probabilidade
P é P = 7 / 25 = 0,28 = 28%.
Assim, a alternativa correta é a opção (E).
(ESAF) Num sorteio concorreram 50 bilhetes com números de 1 a 50. Sabe-se
que o bilhete sorteado é múltiplo de 5. A probabilidade de
o número sorteado ser 25 é:
a) 15% b) 5%
c) 10% d) 30%
e) 20%
Solução: Como os números múltiplos de cinco (5, 10, 15, ..., 50)
formam uma PA de razão r = 5, a1 = 5 e an =
50, temos que: 50 = 5 + 5(n-1). Então n = 45/5 + 1 = 9 + 1 = 10. Sendo 1 o número de casos favoráveis e 10 o número de
casos possíveis, segue que a probabilidade procurada é 1/10 = 0,1 = 10% (resp c).
Um casal decidiu que vai ter 5 filhos. Qual seria a probabilidade de que
tivesse pelo menos 2 meninos?
Solução: A ação é constiuída
de 5 etapas. Para cada etapa existem 2 possibilidades (menino ou menina).
Pelo PFC, o número de casos possíveis é
2×2×2×2×2 = 32.
O número de casos favoráveis é o número de maneiras
de ter pelo menos 2 meninos (dois meninos ou mais), ou seja, de ter 2 meninos
e 3 meninas, ou, 3 meninos e 2 meninas, ou, 4 meninos e 1 menina, ou, 5 meninos
e 0 meninas. Observe que estamos contando permutações com repetições, então o número de casos favoráveis é:
5!/(2!×3!) + 5!/(3!×2!) + 5!/(4!×1!) + 5!/(5!×0!) = 10
+ 10 + 5 + 1 = 26
Em outras palavras, dos 5 filhos, sem importar a ordem de escolha, temos que
escolher 2 meninos, ou, 3 meninos, ou, 4 meninos, ou 5 meninos, isto é,
o número de casos favoráveis é:
C5,2 + C5,3 +
C5,4 +
C5,5 = 10 +10 + 5 + 1 = 26
Logo, a probabilidade de que
tivesse pelo menos 2 meninos é P = 26/32 = 13/16 = 81,25%
No jogo da mega-sena são sorteados seis
números distintos de 1 a 60. Não importa a ordem em que os
números são sorteados, mas apenas quais deles foram sorteados.
Podemos apostar em uma sena (escolhermos seis números apenas), mas
pode-se apostar em mais de seis números em um mesmo jogo. Podemos
marcar sete, oito, nove ou dez números num mesmo cartão, o
que vai custar mais caro, proporcionalmente ao aumento de nossa chance de
acertar. Qual a probabilidade que uma pessoa tem de acertar nesta loteria
fazendo uma única aposta de oito números?
Solução: O número de resultados possíveis para
o sorteio é a quantidade de
combinações que podemos formar
com os 60 números, agrupados seis a seis, ou seja,
C60,6 =
(60×59×58×57×56×55) / 6! = 50063860.
O número de quantidade de senas com as quais estamos concorrendo
(resultados favoráveis) é o número de
combinações que podemos formar com os 8 números, agrupados
seis a seis, isto é,
C8,6 = 8 × 7 / 2! = 28.
Logo, a probabilidade de acertar é 28 / 50063860 , o
que significa que a chance de acertar é de 28 em um total de 50.063.860
casos, ou seja, 0,000056% aproximadamente.
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