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Quando lançamos, ao acaso, um dado, há seis possibilidades quanto a face que ficará voltada para cima: A probabilidade de sair o número 5 é  de 1 chance em total de 6, ou seja, 1/6 = 0,166... = 16,6%. A probabilidade de sair um número ímpar é de 3 chances em total de 6, isto é, 3/6 = 1/2 = 0,5 = 50%.

a) Qual a probabilidade de sair um número primo?

b) Qual a probabilidade de sair um número maior que 6?

c) Qual a probabilidade de sair um número menor que 7?

d) Qual a probabilidade de sair um número maior ou igual a 3?

Solução: O número de casos (resultados) possíveis (espaço amostral) é o número de elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, isto é, 6.

a) Número natural primo é aquele que possui apenas dois divisores: ele mesmo e o um. O número de casos favoráveis é 3, pois, é o número de elementos do conjunto dos primos {2, 3, 5}.

Logo, a probabilidade é 3/6 = ½ = 0,5 = 50%.

b) O conjunto de resultados favoráveis é um conjunto vazio. Assim, a probabilidade é 0/6 = 0 = 0% (evento impossível).

c) O conjunto de resultados favoráveis é um conjunto de 6 elementos (todos os resultados possíveis). Então, a probabilidade procurada é 6/6 = 1 = 100% (evento certo).

d) O conjunto de resultados favoráveis é o conjunto {3, 4, 5, 6}, com 4 elementos. A probabilidade vale 4/6 = 2/3 = 0,666... = 66,6%.

Num baralho normal de 52 cartas há 13 cartas (ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei) de cada um dos 4 naipes (copas, ouro, paus e espadas). De um baralho normal de 52 cartas e mais 2 coringas é retirada uma carta ao acaso.

a) Qual a probabilidade de ser um valete?

b) Qual a probabilidade de ser um coringa, em jogos que também consideram o 2 como coringa?

Solução: a) O número de casos possíveis é 52 + 2 = 54. Como existem 4 valetes, então, o número de casos favoráveis é 4. Sendo, P(valete) a probabilidade de a carta ser um valete, vem que , P(valete) = 4 / 54 = 0,074 = 7,4%.

b) Como as 4 cartas com número 2 também são consideradas coringas, o número de casos favoráveis é 4 + 2 = 6. Assim a probabilidade de tirar um coringa é P(coringa) = 6 / 54 = 0,111... = 11,1%.

(UFJF) Ao lançarmos dois dados a probabilidade de obtermos resultados cuja soma é sete é:
(A) 1/2
(B) 1/3
(C) 1/4
(D) 1/5
(E) 1/6
Solução: Vamos contar todos os resultados possíveis:

1+1 1+2 1+3 1+4 1+5 1+6
2+1 2+2 2+3 2+4 2+5 2+6
3+1 3+2 3+3 3+4 3+5 3+6
4+1 4+2 4+3 4+4 4+5 4+6
5+1 5+2 5+3 5+4 5+5 5+6
6+1 6+2 6+3 6+4 6+5 6+6

O número de casos favoráveis ao resultado sete é 6. O número de casos possíveis é 36.

2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11
7   8   9   10 11 12

Assim, a probabilidade é P = 6/36 = 1/6 = 0,16666... = 16,6%.

Logo, a alternativa correta é a (E).

(UNIRIO) Num grupo de 100 pessoas, 70 têm sangue com RH positivo e 45 têm sangue tipo O. Escolhendo-se, ao acaso, uma pessoa desse grupo, qual é a probabilidade de o sangue dessa pessoa ser de tipo diferente de O?
Solução:  Seja x o número de pessoas que têm sangue RH positivo e têm também sangue tipo O. Representando os conjuntos por meios de diagramas de Venn-Euler, vem que: 70 - x + x + 45 - x = 100.

diagramas de Venn-Euler

Daí, vem que, 70 + 45 - x = 100. Então, x = 115 - 100 = 15. Assim, o número de pessoas que têm sangue do tipo diferente de O é:  70 - 15 = 55. Logo, num total de 100 pessoas, temos 55 possibilidades (chances) de escolha. Então, podemos dizer que a probabilidade do sangue dessa pessoa ser de tipo diferente de O é 55/100 = 55%.

De uma outra maneira mais rápida: Como 45 têm sangue tipo O, então, o número de pessoas que têm sangue do tipo diferente de O é: 100 - 45 = 55.
Logo, a probabilidade é de 55 possibilidades num total de 100, isto é, 55%.

Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de cada moça, segundo a tabela:

olhos azuis

olhos castanhos

totais

loira

17

9

26

morena

4

14

18

ruiva

3

3

6

totais

24

26

50

a) Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhidas ao acaso, qual a probabilidade dela ser:

I) Morena?

II) loira de olhos azuis?

III) loira ou ter olhos azuis?

b) Está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão completamente cobertos, mas você percebe que ela tem olhos azuis. Qual a probabilidade de que ela seja loira?

Solução:  Com base na tabela, podemos responder todas as perguntas, observando que:
Se existe interseção, o conectivo "ou" está associado à união de conjuntos, e o conectivo "e" está associado à interseção de conjuntos.
Se não existe interseção (caso de eventos mutuamente exclusivos), o conectivo "ou" está associado à soma.
No caso de eventos sucessivos e independentes o conectivo "e" está associado a multiplicação (consequência do Princípio Fundamental da Contagem).

a) O número de casos possíveis é o total de 50 moças.

I) O número de casos favoráveis a menina escolhida ser morena é o total de 18 morenas.

Portanto, a probabilidade  de ser morena é P = 18 / 50 = 9 / 25 = 0,36 = 36%

II) Cruzando os dados na tabela, vemos que o número de casos favoráveis a menina escolhida ser loira e ter olhos azuis (interseção de conjuntos) é 17.

Então, a probabilidade de ser loira de olhos azuiz é P = 17 / 50 = 0,34 = 34%.

III) O número de casos favoráveis a menina escolhida ser loira ou ter olhos azuis é o número de elementos da união do conjunto da loiras com o conjunto das moças com olhos azuis.

Diagrama de Venn-Euler

Pelo diagrama construido, temos que o número de casos favoráveis é 7 + 17 + 9 = 33.

Ou, usando n(AÈB) = n(A) + n(B) – n(AÇB) = 24 + 26 - 17 = 33.

Logo, a probabilidade procurada é P = 33 / 50 = 0,66 = 66%.

b) O fato de você perceber que a garota tem olhos azuis, significa que o número de casos possíveis não é mais 50 (eventos dependentes). O número de casos possíveis agora é o total de moças de olhos azuis, ou seja, é 24 moças .

Então o número de casos favoráveis a menina escolhida ser loira é 17.

Logo a probabiliade procurada é P = 17 / 24 = 0,708333... = 70,8%

Este procedimento é chamado de cálculo da probabilidade da ocorrência do evento A sabendo-se que já ocorreu o evento B (probabilidade condicional), ou seja, P(A | B) = n(A Ç B) / n(B) = 17 / 24 = 0,708333... = 70,8%

Um congresso médico reúne 48 psiquiatras, dos quais 18 são mulheres; 72 psicólogos, dos quais 53 são mulheres; e 27 neurologistas, dos quais 10 são mulheres. Um dos participantes foi escolhido ao acaso para coordenar os trabalhos. Sabendo-se que a pessoa sorteada é mulher, qual é a probabilidade de que ela seja psiquiatra?

Solução: Construindo uma tabela para visualizar melhor o problema, temos:

Psiquiatras Psicólogos Neurologistas Total
Mulheres

18

53

10

81
Homens

30

19

17

66
Total

48

72

27

147

Como a pessoa sorteada é mulher, o número de elementos do espaço amostral (número de resultados possíveis) passa a ser o total de mulheres que é 81.

O número de resultados favoráveis é a quantidade de mulheres psiquiatras, ou seja, 18.

Então a probabilidade procurada é P = 18  / 81 = 2 / 9 = 0,222... = 22,22 %.

Observe que poderíamos ter usado a probabilidade da ocorrência do evento A sabendo-se que já ocorreu o evento B (probabilidade condicional), ou seja, P(A | B) = n(A Ç B) / n(B) = 18  / 81 = 2 / 9 = 0,222... = 22,22 %.

Quando João vai a um restaurante, a probabilidade de ele consumir alguma sobremesa é igual a 0,58, a probabilidade de ele consumir café expresso é igual a 0,22, e a probabilidade de ele consumir alguma sobremesa e café expresso é igual a 0,16. Sendo assim, a probabilidade de João ir a um restaurante e não consumir nenhuma sobremesa nem café expresso está entre:
(A) 0,10 e 0,20.         (B) 0,21 e 0,30.           (C) 0,31 e 0,40.       (D) 0,41 e 0,50.         (E) 0,51 e 0,60.
Solução: Temos que: P(sobremesa) = 0,58 = 58% ; P(café) = 0,22 = 22% ; P(sobremesa e café) = 0,16 = 16%.

Construindo o diagrama, encontramos:

Assim, 42%+ 16% + 6% + x = 100%

64% + x = 100%

x = 36% = 36 / 100 = 0,36  (alternativa C).

De outra maneira: P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(AÇB) = 0,58 + 0,22 - 0,16 = 0,8 - 0,16 = 0,64 = 64%

A resposta procurada é a probabilidade complementar de P(AÈB) , ou seja, é 1 - 0,64 = 0,36 = 36%, que está na alternatica (C).  

(ESAF) Num sorteio concorreram 50 bilhetes com números de 1 a 50. Sabe-se que o bilhete sorteado é múltiplo de 5. A probabilidade de o número sorteado ser 25 é:

a) 15%           b) 5%             c) 10%             d) 30%           e) 20%

Solução: Como os números  múltiplos de cinco (5, 10, 15, ..., 50) formam uma PA de razão r = 5, a1 = 5 e an = 50, temos que: 50 = 5 + 5(n-1). Então n = 45/5 + 1 = 9 + 1 = 10. Sendo 1 o número de casos favoráveis e 10 o número de casos possíveis, segue que a probabilidade procurada é 1/10 = 0,1 = 10% (resp c).
(PUC) Uma prova de múltipla de escolha tem 10 questões, com três respostas em cada questão. Um aluno que nada sabe da matéria vai responder a todas as questões ao acaso, e a probabilidade que ele tem de não tirar zero é:
(A) maior do que 96%
(B) entre 94% e 96%
(C) entre 92% e 94%
(D) entre 90% e 92%
(E) menor do que 90%
Solução: Pelo princípio fundamental da contagem (PFC), o número de maneiras distintas de resolver esta prova é 3×3×3×3×3×3×3×3×3×3 =  310= 59049. Dizemos, assim, que 310 = 59049 é o número de elementos do espaço amostral, ou seja, é o número de casos possíveis.
Pelo PFC, para tirar zero, o número de maneiras é: 2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 = 210 = 1024. Logo, para NÃO tirar zero o número de maneiras de resolver esta prova é 310 - 210 = 59049 - 1024 = 58025. Dizemos, então, que 58025 é o número de casos favoráveis. A expressão que utilizamos para o cálculo da probabilidade (definição clássica) é o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis.
Sendo P a probabilidade do aluno não tirar zero, segue que, P = 58025 / 59049 =  0,98265847 @ 98%. Como 98% > 96%, concluimos que (A) é a alternativa correta.
(UFRJ) Dispomos de quatro urnas, cada uma contendo dez bolas numeradas de 0 a 9. Sorteando ao acaso uma bola de cada uma, formamos um número entre 0 e 9.999. Lembrando que zero é multiplo de qualquer número inteiro, determine a probabilidade de o número sorteado ser múltiplo de 8.
Solução: Considere o evento A = {o número sorteado é multiplo de 8}. A probabilidade da ocorrência do evento A , é a razão entre o número de casos favoráveis à ocorrência do evento A e o número de resultados possíveis para o experimento. Como de 0 a 9.999 podemos formar 10.000 números, o número de resultados possíveis é 10.000.
Sendo o conjunto dos múltiplos de 8 uma PA, onde o primeiro termo é a1 = 0 e a razão é r = 8, vem que o último termo dessa PA é an = 9.992.
Então, 9.992 = 0 + (n-1)×8, onde n é o número de termos. Assim, n = (9.992 / 8) + 1 = 1.249 + 1 = 1.250 que é o número de casos favoráveis.

Portanto, a probabilidade do sorteado ser múltiplo de 8 é: 1.250 / 10.000 = 1/8 = 0,125 = 12,5%.

(FGV) Uma companhia de seguros coletou uma amostra de 2000 motoristas de uma cidade a fim determinar a relação entre o número de acidentes (y) em certo período e a idade em anos (x) dos motoristas. Os resultados estão na tabela abaixo:

y = 0

y = 1

y = 2

y > 2

x < 20

200

50

20

10

20 £ x < 30

390

120

50

10

30 £ x < 40

385

80

10

5

x > 40

540

105

20

5

Adotando a frequência relativa observada como probabilidade de cada evento,obtenha:

a) a probabilidade de um motorista escolhido ao acaso ter exatamente um acidente no período considerado.

b) a probabilidade de um motorista ter exatamente 2 acidentes no período considerado, dado que ele tem menos de 20 anos.

Solução: Frequência relativa de um dado é a taxa percentual obtida pela divisão da frequência com que o dado aparece pelo número total de dados. Em Estatística é usual estimar a probabilidade pela frequência relativa (interpretação frequencista das probabilidades). Assim, utilizando os dados da tabela, temos as soluções dos itens a) e b):

a) Somando a coluna correspondente a y = 1 (exatamente 1 acidente), encontramos: 50 + 120 + 80 + 105 = 355 casos favoráveis num total de 2000 motoristas. Logo a probabilidade pedida é: 355 / 2000 = 71 / 400 = 0,1775 = 17,75%.

b) Somando a linha correspondente a x menor que 20 (ele tem menos que 20 anos) encontramos um total de 200 + 50 + 20 + 10 = 280 motoristas.
Na coluna correspondente a y = 2 (exatamente 2 acidentes) temos apenas 20 motoristas com idade inferior a 20 anos.
Logo, temos 20 casos favoráveis num total de 280 casos possíveis, ou seja, a probabilidade pedida é: 20 / 280 = 1 / 14. O que corresponde ao percentual de 7,14% aproximadamente.

Um casal decidiu que vai ter 5 filhos. Qual seria a probabilidade de que tivesse pelo menos 2 meninos?

Solução:  A ação é constiuída de 5 etapas. Para cada etapa existem 2 possibilidades (menino ou menina). Pelo PFC, o número de casos possíveis é 2×2×2×2×2 = 32.

O número de casos favoráveis é o número de maneiras de ter pelo menos 2 meninos (dois meninos ou mais), ou seja, de ter 2 meninos e 3 meninas, ou, 3 meninos e 2 meninas, ou, 4 meninos e 1 menina, ou, 5 meninos e 0 meninas. Observe que estamos contando permutações com repetições, então o número de casos favoráveis é:

5!/(2!×3!) + 5!/(3!×2!) + 5!/(4!×1!) + 5!/(5!×0!) = 10 + 10 + 5 + 1 = 26

Em outras palavras, dos 5 filhos, sem importar a ordem de escolha, temos que escolher 2 meninos, ou, 3 meninos, ou, 4 meninos, ou 5 meninos, isto é,  o número de casos favoráveis é:

C5,2 + C5,3 + C5,4 + C5,5 = 10 +10 + 5 + 1 = 26

Logo, a probabilidade de que tivesse pelo menos 2 meninos é P = 26/32 = 13/16 = 81,25%

No jogo da mega-sena são sorteados seis números distintos de 1 a 60. Não importa a ordem em que os números são sorteados, mas apenas quais deles foram sorteados. Podemos apostar em uma sena (escolhermos seis números apenas), mas pode-se apostar em mais de seis números em um mesmo jogo. Podemos marcar sete, oito, nove ou dez números num mesmo cartão, o que vai custar mais caro, proporcionalmente ao aumento de nossa chance de acertar. Qual a probabilidade que uma pessoa tem de acertar nesta loteria fazendo uma única aposta de oito números?

Solução: O número de resultados possíveis para o sorteio é a quantidade de combinações que podemos formar com os 60 números, agrupados seis a seis, ou seja,
C60,6 = (60×59×58×57×56×55) / 6! = 50063860.

O número de quantidade de senas com as quais estamos concorrendo  (resultados favoráveis) é o número de combinações que podemos formar com os 8 números, agrupados seis a seis, isto é,
C8,6 = 8 × 7 / 2! = 28.

Logo, a probabilidade de acertar é 28 / 50063860 , o que significa que a chance de acertar é de 28 em um total de 50.063.860 casos, ou seja, 0,000056% aproximadamente.

(UNIRIO) As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando pênalti são, respectivamente, 1/2, 2/5, e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, a probabilidade de todos errarem é igual a:
(a) 3%
(b) 5%
(c) 17%
(d) 20%
(e) 25%
Solução: A probabilidade de ocorrerem eventos sucessivos e independentes é dada pela multiplicação das probabilidades isoladas de ocorrência de cada um (consequência do principio fundamental da contagem).
Probabilidade Jogador 1 Jogador 2 Jogador 3
de acertar

1/2

2/5

5/6
de errar

1/2

3/5

1/6

Assim, o resultado procurado é (1/2)×(3/5)×(1/6) = 3/60 = 1/20 = 0,05 = 5% (alternativa b)

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