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Para que exista a relação 
, o valor de
k na equação deverá ser:
(A) – 15. (B) – 10. (C) + 12. (D) + 15. (E) + 36.
Solução: Sabendo-se que na equação ax2 + bx + c = 0 , a soma das raízes é x1 + x2 = - b / a ,
e o produto das raízes é x1.x2 = c / a , temos:
x1 + x2 = -K / 1 = -K
1 / x1 + 1 / x2 = 5 / 12
(x1 + x2) / (x1.x2) = 5 / 12
- k / 36 = 3 / 12
- k = 15
k = -15 ( opção A)
(PUC) Sabe-se que a equação x4 + 3x3 - 13x2 - 27x + 36 = 0 admite as raízes reais a, b, c, d, com a < b < c < d e tais que a + b = -7 e c.d = 3. Se |z| é o módulo do número complexo z = a + bi, então log25|z| é igual a:
(A) 1/5 (B) 1/4 (C) 1/2 (D) 2 (E) 5
x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a
x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a
x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x1.x3.x4 + x2.x3.x4 = - d/a
x1.x2.x3.x4 = e/a
Então, temos dois sistemas:
cd = 3 e -7 + c + d = -3
a + b = -7 e 3ab = 36
Resolvendo o primeiro sistema:
c = 3 / d
Substituindo na segunda equação:
d2 - 4d + 3 = 0
Resolvendo esta equação do segundo grau:
d = 3 ou d = 1
Substuindo na primeira equação:
c = 1 ou c = 3
Resolvendo o segundo sistema:
a = 12/b
Substuindo na primeira equação:
b2 + 7b + 12 = 0
Resolvendo esta equação do segundo grau:
b = -3 ou b = -4
Substuindo na primeira equação:
a = -4 ou a = -3
Como a < b < c < d, as raízes são:
a = -4 , b = -3 , c = 1 e d = 3
Seja o número complexo z = a + bi = - 4 - 3i, onde i² = -1,
Logo: |z|2 = 16 + 9 = 25
|z| = 5
Assim, o resultado procurado é x = log255, ou seja, x é o expoente que devemos dar ao 25 para encontrarmos 5.
Resolvendo a equação exponencial: (25)x = 5 , encontramos:
(5)2x = 5
Como nos dois membros da equação temos a mesma base 5, igualamos os expoente:
2x = 1
x = 1 / 2 (opção C)
| (A) x2 | (B) x3 + 1 | (C) x3 - 1 | (D) x2 + 1 | (E) x3 |
Se dividimos (x3 + 1) por (x + 1) obtemos x2 - x + 1.
Então, podemos fatorar da seguinte maneira:
| (x5 + 1) = (x +
1)(x4 - x3 + x2 -
x + 1) ;
(x2 + 1) = (x + 1)( x - 1). |
(x3 + 1) = (x +
1)(x2 - x + 1) ;
Logo, a expressão fica assim: |
| [(x +1)(x4 -
x3 + x2 - x + 1) - (x +
1)(x2 - x + 1)] / [(x + 1)( x -
1)] =
(x +1)[(x4 - x3 + x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)] / [(x + 1)( x - 1)] = [(x4 - x3 + x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)] / ( x - 1) = [(x4 - x3 + x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)] / ( x - 1) = (x4 - x3 + x2 - x + 1 - x2 + x - 1) / ( x - 1) = (x4 - x3 ) / ( x - 1) = x3 ( x - 1) / ( x - 1) = x3 |
Segue que,
a alternativa correta é a alternativa (E). |
Logo m2 + 2 = x2 + 1/x2
Então , x4 + 1/x4 = x4 + 2 + 1/x4 - 2 = (x2 + 1/x2)2 - 2 = ( m2 + 2)2 - 2 = m4 + 4m2 + 2 .
Assim, se -1, -2 e 3 são raízes de um polinômio, este pode ser decomposto no produto a(x + 1)(x + 2)(x - 3), onde a é o coeficiente de x3 . Resolvendo este produto teremos: a(x + 1)(x + 2)(x - 3) = a(x2 + 3x + 2)(x - 3) = a(x3 - 7x - 6). Então, a equação de terceiro grau procurada é: x3 - 7x - 6 = 0, onde a = 1 (opção D)