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 (x⁵ + 1) - (x³ + 1) = x⁵ + 1 - x³ - 1 =  x⁵ - x³ = x³ (x² - 1).

Então:

[ (x⁵ + 1) - (x³ + 1)] / (x² - 1) =  x³ (x² - 1) / (x² - 1)

Suprimindo o fator comum, desde que o fator (x² - 1) não seja zero, segue que:

[ (x⁵ + 1) - (x³ + 1)] / (x² - 1) =  x³

Assim, a resposta correta está na alternativa (E)

(A) -5              (B) -4            (C) 5             (D) 6               (E) 8

De fato, pelo algoritmo da divisão: P(x) = (x - a).Q(x) + R, onde Q(x) é o quociente e R é o resto.

Se x  é a raiz do binômio (x - a), ou seja, x = a, então P(a) = (a - a).Q(a) + R = (0).Q(a) + R = R.

Assim, como 5 é raiz do polinômio (x - 5), segue que:

P(5) = 5⁴ - 4(5)³ - 5k - 75 = 10

625 - 500 - 5k - 75 = 10

50 - 5k = 10

40 = 5k

k = 40 / 5 = 8 (alternativa E)

Calcule o resto da divisão do polinômio (x⁵ - 3x² + 2x + 6) pelo binômio (x + 1).

Como x = -1 é a raiz do binômio (x + 1), temos o valor numérico:

P(-1) = (-1)⁵ - 3(-1)² + 2(-1) + 6 = -1 - 3 - 2 + 6 = -6 + 6 = 0.

Logo, o resto da divisão é 0.

Pelo Teorema de D'Alembert, se r é raiz de um polinômio na variável x, então este polinômio é divisível pelo polinômio (x - r). A recíproca deste teorema é verdadeira.

Assim, se -1, -2 e 3 são raízes de um polinômio, este pode ser decomposto no produto a(x + 1)(x + 2)(x - 3), onde a é o coeficiente de x³.

Resolvendo este produto teremos: a(x + 1)(x + 2)(x - 3) = a(x² + 3x + 2)(x - 3) = a(x³ - 7x - 6).

Então, a equação de terceiro grau procurada é: x³ - 7x - 6 = 0, onde a = 1 (opção D)

Simplifique a expressão algébrica: (x⁴ + 4x³ + x² - 12x - 12) / (2x³ + 7x² + 4x - 4).

Para simplificar, temos que dividir o numerador e o denominador por (x + 2). Podemos usar o algoritmo de Briot-Ruffini.

1=1 2(-2)+4=2 2(-2)+1=-3 (-3)(-2)-12=-6 (-6)(-2)-12=0=resto

2=2 2(-2)+7=3 3(-2)+4=-2 (-2)(-2)-4=0=resto

Como os quocientes das divisões feitas são também divisíveis por (x + 2), aplica-se o método de Briot-Ruffini novamente.

1=1 1(-2)+2=0 0(-2)-3=-3 (-3)(-2)-6=0=resto

2=2 2(-2)+3=-1 (-1)(-2)-2=0=resto

Fatorando e suprimindo os fatores comuns, simplificamos a expressão.

A resposta é (x² - 3) / (2x - 1) desde que o fator cancelado (x + 2) não seja zero, isto é, x ¹ -2. Para x = -2 a fração não tem sentido.

Para que exista a relação , o valor de k na equação deverá ser:

(A) – 15.          (B) – 10.           (C) + 12.           (D) + 15.           (E) + 36.

Solução: Sabendo-se que na equação ax² + bx + c = 0 , a soma das raízes é x₁ + x₂ = - b / a ,

e o produto das raízes é x₁.x₂ = c / a , temos:

x₁ + x₂ = -K / 1 = -K

1 / x₁ + 1 / x₂ = 5 / 12

(x₁ + x₂) / (x₁.x₂) = 5 / 12

- k / 36 = 3 / 12

- k = 15

k = -15    (opção A)

(A) 1/5                        (B) 1/4                      (C) 1/2                        (D) 2                      (E) 5

x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x1.x3.x4 + x2.x3.x4 = - d/a x1.x2.x3.x4 = e/a

a + b +c + d = -3 ab + ac + ad + bc + bd + cd = 13 abc + abd + acd + bcd = 27 abcd = 36

Então, temos dois sistemas:

Primeiro sistema: cd = 3 e -7 + c + d = -3 Resolvendo: c = 3 / d Substituindo na segunda equação: d2 - 4d + 3 = 0 Resolvendo esta equação do segundo grau: d = 3 ou d = 1 Substuindo na primeira equação: c = 1 ou c = 3

Segundo sistema: a + b = -7 e 3ab = 36 Resolvendo: a = 12/b Substituindo na primeira equação: b2 + 7b + 12 = 0 Resolvendo esta equação do segundo grau: b = -3 ou b = -4 Substituindo na primeira equação: a = -4 ou a = -3

Como a < b < c < d, as raízes são:

a = -4 , b = -3 , c = 1 e d = 3

Seja o número complexo z = a + bi = - 4 - 3i, onde i² = -1,

Logo: |z|² = 16 + 9 = 25

|z| = 5

Assim,  o resultado procurado é x = log₂₅5, ou seja, x é o expoente que devemos dar ao 25 para encontrarmos 5.

Resolvendo a equação exponencial: (25)^x = 5 , encontramos:

(5)^2x = 5

Como nos dois membros da equação temos a mesma base 5, igualamos os expoente:

2x = 1

x =  1 / 2     (opção C)