(PUC) Seja o triângulo
retãngulo ABC, abaixo.
Pode-se afirmar que as medidas do triângulo que
formam uma progressão geométrica são:
(A) a , b , c
(B) a , b , h
(C) a , b , n
(D) a , c , n
(E) a , n , m
Solução: Conduzindo a altura h relativa
a hipotenusa a de um triângulo retângulo ABC obtemos
dois triângulos retângulos semelhantes ao triângulo
ABC. Pelo Teorema de Tales os lados correspondentes destes
triângulos são proporcionais.
Como conseqüência disto, temos as seguintes relações
métricas:
a = m + n ;
b2 = a.n ;
c2 = a.m ;
h2 = n.m ;
b.c = a.h ;
a2 = am + an .
Daí vem o Teorema de Pitágoras: a2 =
b2 + c2 .
Por outro lado, se uma seqüência de números reais x , y
, z , nesta ordem, é uma progressão
geométrica, então y é a média geométrica
de x e z, ou seja, y2 = x.z .
Assim, são progressões geométricas as três
seqüências a seguir: (a , c , m) ; (a , b , n) e
(n , h , m).
Logo, as medidas do triângulo ABC que formam uma PG estão
na alternativa (C).
(CBMERJ) Em um terreno
retangular serão construídos um laboratório e uma
odontoclínica (conforme a figura abaixo).
Marque a opção que mostra o polinômio
que expressa a área não construída (sombreada em amarelo):
(A) 120 -6x2 + 160x
(B) 280x - 6x2
(C) 200x - 2x2
(D) 120x - x2
(E) 160x - 3x2
Solução: O laboratório e a
odontoclínica formam um retângulo de (80 - 3x) de comprimento
por (40 - 2x) de largura.
Então, a área construída é o polinômio:
(80 - 3x)×(40 - 2x) = 3200 - 280x +
6x2. A área total do terreno é: 80 ×
40 = 3200. Logo, a área não construída será a
área total menos a área construída, ou seja, será
o polinômio: 3200 - (3200 - 280x + 6x2) =
3200 - 3200 + 280x - 6x = 0 + 280x -
6x2 = 280x - 6x2. Alternativa
(B).
(CBMERJ) Para realizar um treinamento de salvamento
em altura, os bombeiros amarraram uma das extremidades de uma corda no topo
de uma torre vertical e prenderam a outra extremidade no solo, medindo 50
metros à distância entre as duas extremidades. Sabe-se que a
referida corda estava totalmente esticada e formava um ângulo de 45
graus com o solo que era horizontal e plano. Qual a altura da torre utilizada
no
treinamento?
(A) 25,00 m
(B) 28,83 m
(C) 35,25 m
(D) 43,25 m
(E) 50,00 m
Solução:
A corda, a torre e o chão formam um triângulo retângulo
isósceles (com dois ângulos iguais a 45 graus). Logo, tem dois
lados (os catetos) iguais a x, e a hipotenusa mede 50 m.
Então, pelo Teorema de Pitágoras vale a relação
x2 + x2 = 502.
Assim, a altura da torre utilizada no treinamento mede x = 35,25 m,
correspondendo a alternativa (C).
(UFGO) Para cobrir o piso retangular de um banheiro
de 1m de largura por 2m de comprimento com cerâmicas quadradas, medindo
20cm de lado, qual o número necessário de cerâmicas?
Solução: Como 20 cm = 0,20 m , a área da cerâmica
é A = 0,2 × 0,2 = 0,04 m2 . A área do piso
A = 2 ×1 = 2 m2. Assim, o número de cerâmicas
de 0,04 m2 que cabem em um piso de 2 m2 é: 2
/ 0,04 = 200 / 4 = 50 cerâmicas.
Para colocar ladrilhos no piso de um salão
retangular de 6,40 m por 9,60 m, um pedreiro comprou ladrilhos quadrados
de 20 cm de lado. Calcule o número necessário de ladrilhos.
Solução: Como 20 cm = 0,20 m, a área do ladrilho
é A = 0,2 × 0,2 = 0,04 m2. A área do piso é
A = 6,40 × 9,60 = 61,44 m2. Assim, o número de ladrilhos
de 0,04 m2 que cabem em um piso de 61,44 m2 é:
61,44 / 0,04 = 6.144 / 4 = 1.536 ladrilhos.
Seu Silva deseja colocar azulejos numa parede (de 4 m por 2,7 m) de sua
cozinha, onde há uma porta (de 2,1 m por 80 cm) e uma janela (de 1,2
m por 1,2 m). Quantos metros quadrados de azulejo seu Silva precisa
comprar?
Solução: Área da parede = 4 × 2,7 = 10,8
m2 . Como 80 cm = 0,8 m, temos que a área da porta = 2,1
× 0,8 = 1,68 m2. A área da janela = 1,2 × 1,2
= 1,44 m2. Assim, a parte da parede que não vai ser azulejada
é: 1,68 m2 + 1,44 m2 = 3,12 m2. Logo,
seu Silva precisa comprar: 10,8 m2 - 3,12 m2 = 7,68
m2 de azulejo.
Sabendo-se que 1 are (a) = 100 m2, quantos hectares (ha) possui
um terreno de formato retangular de 2.100 m por 50 m ?
Solução: A área do terreno é A = 2.100 ×
50 = 105.000 m2. Como 100 m2 = 1 are, então
10.000 m2 = 1 hectare. Logo a área A = 105.000 / 10.000
= 10,5 ha.
(FJG) A figura ao lado representa um terreno
retangular de 9m de largura e
15m de diagonal. A área deste terreno, em metros quadrados, é
igual a:
| (A) 112
|
(B) 108
|
(C) 98
|
(D) 86 |
|
|
 |
Solução: Seja C o comprimento do
retângulo. No triângulo retângulo formado com os lados
do retângulo e a diagonal, a hipotenusa mede 15 m e os catetos
medem 9m e C. Assim, vale o Teorema de Pitágoras, ou seja,
152 = 92 + C2.
Então, 225 = 81 + C2, o que implica em C2 =
225 - 81 = 144.
Como a raiz quadrada de 144 é igual a 12, vem que C = 12 m. Sendo
a área o produto entre o comprimento
e a largura, segue que a área A = 12 × 9 = 108 m2.
Concluímos que (B) é a alternativa correta.
Este problema poderia ser resolvido de uma maneira mais rápida. Observe,
que o triângulo retângulo é semelhante ao Triângulo
Pitagórico Fundamental, ou seja, seus lados são proporcionais
a 3 , 4 e 5. Assim, podemos ter a proporção múltipla:
9/3 = C/4 = 15/5 = 3. Logo: C = 4 × 3 = 12. Daí, vem que a área
A = 12 × 9 = 108 m2.
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