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(UNICAMP) Uma mesa de quatro pernas pode oscilar. Já uma mesa de três pernas está sempre firme. Explique.
Solução: A geometria espacial nos diz que "Três pontos não colineares, no espaço, determinam um único plano". Isso significa que por três pontos não situados numa mesma reta (ou por três pontos não alinhados) passa só um plano que os possui. Assim, as três pernas determinam sempre um único plano de fixação, portanto, não há oscilação. Já quatro pernas determinam mais de um plano. O número de planos determinados pelos quatros pontos é o número de combinações de 3 pontos escolhidos entre 4 pontos, ou seja, é C4,3 =  4×3×2 / 3! = 4 planos. Logo, neste caso pode ocorrer oscilação.
Um estudante com 6 palitos de fósforos iguais formou, com todos eles ao mesmo tempo, 4 triângulos iguais. Como ele fez isto?
tetraedro Solução: Ele construiu uma pirâmide regular triangular (tetraedro). Nesta pirâmide, as quatros faces são os 4 triângulos iguais e as seis arestas são os 6 palitos de fósforos.
Paralelepídedo retângulo. Quantos litros de água são necessários para encher completamente uma caixa d'água, com formato de um paralelepídedo retângulo (prisma reto quadrangular), cujas as dimensões (internas) são: 0,90 m de comprimento, 0,80 m de largura e 0,70 m de altura?

Solução: Sabe-se que 1m3 = 1000 litros. O volume é o produto da área da base (Ab) pela altura (h). Ab = 0,90 × 0,80 = 0,72 m2 . Como h = 0,70, então V = 0,72 × 0,70 = 0,504 m3 . Logo: V = 0,504 × 1000 = 504 litros.
(UFRJ) Uma barra de doce de leite (paralelepípedo retângulo), com 5 cm × 6 cm × 7 cm, foi completamente envolvida com papel laminado. Se a barra for cortada em cubos de 1 cm de aresta, quantos cubos ficarão sem qualquer cobertura de papel laminado?
Solução: O paralelepípedo formado pelos cubos de 1 cm de aresta (1cm3) que ficarão sem cobertura terá um volume menor:
V = (5-2) cm × (6-2) cm × (7-2) cm = 3 cm × 4 cm × 5 cm = 60 cm3. Assim, o valor procurado será de 60 cubos.
pirâmide quadrangular A pirâmide de Queóps (construída por volta de 2.500 anos antes de Cristo), no Egito, tem 146 m de altura. Sua base é um enorme quadrado, cujo lado mede 246 m. Se um caminhão basculante carrega 6 m3 de areia, quantos deles seriam necessários para transportar um volume de areia igual ao volume da pirâmide?

Solução: O volume da pirâmide é igual a terça parte do volume de um prisma de mesma base e altura.
A área da base é Ab = 246 × 246 = 60.516 m2 , então o volume é V = 60.516 × 146 / 3 = 8.835.336 / 3 = 2.945.112 m3. Assim, seriam necessários: 2.945.112 m3 / 6 m3 = 490.852 caminhões.
Um tipo de folha de papel muito usado nas máquinas copiadoras é o de formato A4. Este tipo de papel tem forma retangular com 21 cm de largura por 29,7 cm de comprimento. Calcule o volume de uma pilha, com 20 cm de altura, de papel A4.
Solução: Esta pilha tem o formato de um prisma quadrangular. Calculando a área da base retangular encontramos:
Ab = 21 × 29,7 = 623,7 cm2. Logo o volume da pilha de papel é: V = 623,7 × 20 = 12.474 cm3 .
prisma triangular A área total de um prisma é a soma de todas as áreas de suas faces laterais com as áreas das bases.

Determine a área total e o volume de um prisma reto triangular de altura igual a 12 cm e cuja base é um triângulo retângulo de catetos 6cm e 8cm.

Solução: Como o triângulo da base é retângulo, a área da base é: Ab = 6 × 8 / 2 = 24 cm2. Pelo Teorema de Pitágoras temos que: a2 = 62 + 82 = 100 , onde a é a hipotenusa. Como a raiz quadrada de 100 é 10, segue que a = 10 cm. Assim, as áreas das outras faces são: área1 = 6 × 12 = 72 cm2 ; área2 = 8 ×12 = 96 cm2 ; área3 = 10 × 12 = 120.
Logo a área total = 24 + 24 + 72 + 96 + 120 = 336 cm2.

Como o volume é o produto da área da base pela altura, segue que V = 24 × 12 = 288 cm3.

cone cilindro (Unijui-RS) Um líquido que está num recipiente em forma de cone será despejado em outro recipiente que possui forma cilíndrica. Se o raio da base dos dois recipientes for 25 cm e a altura dos dois for 1m, que altura atingirá o líquido no cilindro?
(A) 1/3 m           (B) 33 cm             (C) 66 cm                (D) 55 cm                 (E) p / 3 m

Solução: O volume de um cone é igual à terça parte do volume de um cilindro de mesma base e mesma altura, ou seja, é a terça parte do produto da área da base (área do círculo) pela altura. Como, o cilindro tem 1m de altura, então , a altura do líquido no cilindro é 1/3 m.
De fato, o volume do cone é V = p(25)2(1) / 3 = 625p / 3. Despejando este volume no cilindro, onde h é a altura do líquido, teremos 625p / 3 = (625p)(h). Logo, a altura h = 1/3 m, correspondendo a opção (A).
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