Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a
roupa que usará, separou 2 saias e 4 blusas. De quantas maneiras ela
pode se arrumar?
Solução: O chamado Princípio Fundamental da Contagem
(PFC) diz, se alguma escolha pode ser feita de M diferentes maneiras e alguma
escolha subsequente pode ser feita de N diferentes maneiras, há
M×N diferentes maneiras pelas quais essas escolhas podem ser feitas
sucessivamente. Observe a tabela abaixo:
|
blusa 1 |
blusa 2 |
blusa 3 |
blusa 4 |
| saia 1 |
saia 1 e blusa 1 |
saia 1 e blusa 2 |
saia 1 e blusa 3 |
saia 1 e blusa 4 |
| saia 2 |
saia 2 e blusa 1 |
saia 2 e blusa 2 |
saia 2 e blusa 3 |
saia 2 e blusa 4 |
Contando as possibilidades, vemos que Maria pode se arrumar de 8 maneiras
distintas. De fato, a ação é constituída de duas
etapas sucessivas. A primeira (vestir a saia) pode ser realizada de 2 maneiras
distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a segunda (vestir a blusa)
pode ser realizada de 4 maneiras distintas. Assim, pelo princípio
fundamental da contagem (PFC), o número de efetuar a ação
completa é 2 × 4 = 8.
Há quatro estradas ligando as cidades A e B,
e três estradas ligando as cidades B e C. De quantas maneiras distintas
pode-se ir de A a C, passando por B?
Solução: A ação é constituída de
duas etapas sucessivas. A primeira (ir de A até B) pode ser realizada
de 3 maneiras. Para cada uma dessas possibilidades, a segunda (ir de B até
C) pode ser realizada de 4 maneiras. Então, pelo PFC, o número
de maneiras de ir de A até C é 3 × 4 = 12.
Uma prova de Matemática consta de 10 questões
do tipo V ou F. Se todas as questões forem respondidas ao acaso, qual
o número de maneiras de preencher a folha de resposta?
Solução: O PFC é também
conhecido como PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO e pode ser generalizado para
acões constituídas de mais de duas etapas sucessivas.
Resolver uma prova de 10 questões do tipo V ou F representa uma
ação constituída de 10 etapas sucessivas, que correspondem
à resolução das 10 questões propostas. Para cada
questão, há duas possibilidades de escolha de resposta: V ou
F. Logo, pelo PFC, o resultado procurado é: 2 × 2 × 2 ×
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 210
= 1024.
De quantas maneiras podemos arrumar 5 pessoas em fila
indiana?
Solução: Ao escolher uma pessoa para ocupar
a primeira posição na fila temos 5 possibilidades; para o segundo
lugar, como uma pessoa já foi escolhida, temos 4 possibilidades; para
o terceiro lugar sobram 3 pessoas a serem escolhidas; para o quarto
lugar 2 pessoas, e para o último lugar na fila sobra apenas a pessoa
ainda não escolhida. Então, pelo PFC temos: 5 × 4 ×
3 × 2 × 1 = 120. Assim, calculamos o número de modos de
ordenar ("embaralhar") 5 elementos distintos. Em outras palavras ,
calculamos o número de permutações simples de 5 elementos,
ou seja, P5 = 120.
Uma multiplicação do tipo N ×
(N - 1) × (N - 2) × ... × 1 é chamada Fatorial do
número N (N é natural e N > 1) e representada por N! ( lemos
N fatorial ). Definimos ainda 1! = 1 e 0! = 1. O número de
permutações simples de N elementos é N! (por exemplo,
o número de permutações de 5 elementos é 5! =
120). Calcule 10! / (6!×4!).
Solução:
Para a eleição do corpo dirigente de
uma empresa candidatam-se oito pessoas. De quantas maneiras poderão
ser escolhidos presidente e vice-presidente?
Solução: Para escolher o presidente temos 8 possibilidades;
para escolher o vice-presidente, como uma pessoa já foi escolhida,
temos 7 possibilidades. Assim pelo PFC temos: 8 × 7 = 56 maneiras.
Por outro lado, poderíamos usar a
fórmula:
Este procedimento é chamado de cálculo do número de
arranjos simples de 2 elementos escolhidos entre 8 elementos, ou seja
A8,2 = 56
Em uma obra havia três vagas para pedreiro. Cinco candidatos se
apresentaram para preencher as vagas. De quantas formas o encarregado da
obra pode escolher os três de que precisa?
Solução: Note que ele não vai usar todos os candidatos,
de 5 escolherá apenas 3. Além disso, a ordem em que ele vai fazer as escolhas não faz diferença (se escolher primeiro
Mário, depois José e por último Pedro, ou primeiro
José, depois Pedro e por último Mário, o grupo escolhido
é o mesmo). Se a ordem de escolha dos candidatos importasse,
poderíamos usar o PFC. Nesse caso, teríamos 5 candidatos para
a primeira vaga, 4 candidatos para a segunda e 3 candidatos para a última.
A solução seria 5 × 4 × 3 = 60. No entanto, usando
o PFC, contamos várias vezes o mesmo grupo de três candidatos.
Para "tirar" as repetições, vamos ter que dividir o
resultado pelo número de vezes que eles se repetem na contagem. Os
grupos repetidos são as formas de "embaralhar" três
candidatos escolhidos. Sabemos que "embaralhar" três objetos
é o mesmo que fazer permutações de três objetos.
Logo, basta dividir 60 por 3!, ou seja, dividir 60 por 6 para não
contarmos as repetições dentro de cada grupo formado. Isso
significa que há 10 maneiras de escolher os três novos pedreiros,
entre os 5 candidatos.
De outra maneira, podemos usar a fórmula do número
binomial:
![5! / [(5-3)!3!] = 10](binomial.gif)
Assim, calculamos o número de combinações simples de
5 objetos (os 5 candidatos) tomados 3 a 3 (apenas 3 serão escolhidos),
isto é, C5,3 = 10
Quantos veículos podem ser emplacados num sistema
em que cada placa é formada por 2 letras (de um total de 26) e 4
algarismos (de 0 a 9)?
Solução: Pelo PFC temos: 26 × 26 × 10 × 10 ×
10 × 10 = 6760000 veículos.
Quantos veículos podem ser emplacados num sistema em que cada placa
é formada por 3 letras (de um total de 26) e 4 algarismos (de 0 a
9)?
Solução: Pelo PFC temos: 26 × 26 × 26 × 10 ×
10 × 10 × 10 = 175760000 veículos
ANAGRAMA é uma palavra formada pela transposição (troca,
ou permutação, ou "embaralhamento") de letras de outra palavra, podendo ou não ter significado na lingua de origem. Por exemplo: ROMA, MARO, OMAR, RAMO, MORA, RAOM, são alguns dos 24
anagramas da palavra AMOR . Quantos são os anagramas da palavra
MARTELO?
Solução: Pelo PFC temos:
7×6×5×4×3×2×1 = 7! = 5040
anagramas.
A senha de um cartão eletrônico é formada por duas
letras distintas seguidas por uma sequência de três algarismos
distintos. Quantas senhas poderiam ser "confeccionadas"?
Solução: Pelo PFC temos: 26×25×10×9×8 =
468000 senhas.
O quadrangular final de um torneio mundial de basquete é disputado
por quatro seleções: Brasil, Cuba, Rússia e EUA. De
quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros
colocados?
Solução: Em um conjunto de 4 equipes de basquete temos que escolher uma sequência (arranjo) de 3 equipes (a ordem tem importância). Pelo PFC temos: 4×3×2 = 24 maneiras distintas
(número de arranjos de três seleções escolhidos
entre 4 seleções).
Uma escola do Rio de Janeiro quer organizar
um torneio de futebol com 8 equipes, da forma que cada equipe jogue exatamente
uma vez com cada uma das outras (octogonal). Quantos jogos terá o
torneio?
Solução: Em um conjunto de 8 equipes, cada jogo é um
subconjunto (combinação) de 2 equipes (a ordem não tem importância). Assim,
o número de jogos é o número de combinações
de 2 equipes escolhidos entre 8 equipes, ou seja,
C8,2 = (8×7) / 2! = 56/2 = 28
jogos.
Considere a palavra ARARA. Se todas as 5 letras (elementos) fossem distintas,
teríamos 5! = 120 anagramas (permutações). Entretanto,
devemos dividir esse número por 3! (que é o número de
permutações das letras A, A e A, porque elas não são
distintas) e por 2! (número de permutações das letras
R e R, porque elas não são distintas). Assim. a palavra ARARA
tem 10 anagramas. Quantos anagramas podemos formar com a palavra
CARRETA?
Solução: O número de anagramas é: 7!/(2!×2!)
= 7!/4 = 5040/4 =1260 anagramas.
De quantas formas 12 pessoas podem sentar-se ao redor
de uma mesa circular?
Solução: O números de maneiras de colocar 12 pessoas
em uma fila é o número de permutações simples
de 12 elementos, isto é, 12!. Ao colocarmos estas 12 pessoas sentadas
ao redor de uma mesa circular teremos 12 permutações correspondendo
a uma única permutação, pois, agora o primeiro da "fila"
é vizinho do último. Na verdade não existe mais o primeiro
e nem o último. Agora temos uma "fila" sem início e sem fim.
Então, no número de permutações de 12 elementos,
existem 12 permutações repetidas.
Logo, temos que "tirar" estas 12 permutações do cálculo
dividindo 12! por 12. Assim, o número de permutações
pedido é 12! / 12 = 11! = 39916800.
Este procedimento é freqüentemente chamado de cálculo
do número de permutações circulares ou cíclicas.
De um modo geral, o número de permutações circulares
de n elementos (n é natural e n > 0) é n! / n .
Um edifício tem 16 portas. De quantas formas
uma pessoa poderá entrar no edifício e sair por uma porta diferente
de que usou para entrar?
Solução: Para entrar existem 16 possibilidades, em seguida,
para sair existem 15 possibilidades. Então pelo PFC, existem 16×15
= 240 possibilidades.
Ao final de uma reunião com 16 pessoas, cada um dos presentes cumprimentou
os demais com um aperto de mão uma única vez. Quantos apertos
de mão foram trocados?
Solução: Temos um grupo de 16 pessoas. Uma pessoa qualquer
desse grupo deve ter apertado a mão de 16-1 = 15 pessoas, e
isso é verdade para cada uma das 16 pessoas presentes. Mas para não
contarmos duas vezes (2!) o aperto de mão dado por duas pessoas quaisquer,
temos que contar o número total de apertos de mão como o
número de combinações de 2 pessoas escolhidas entre
16 pessoas, ou seja, C16,2 = (16×15) / 2! = 120
apertos de mão.
Quantos divisores positivos tem o número
3888?
Solução: Decompondo em fatores primos, vem que: 3888 =
24×35. Então,
cada divisor de 3888 é da forma 2a ×
3b onde a
pode ser 0, 1, 2, 3, 4, e b pode ser 0, 1, 2,
3, 4, 5. Portanto, existem 5 possibilidades para a e 6 possibilidades
para b. Logo, pelo PFC, o número
de divisores é 5×6 = 30 divisores.
Em um baralho de 52 cartas, três são
escolhidas sucessivamente. Quantas são as sequências de
resultados possíveis se a escolha for feita com reposição?
Solução: Pelo PFC temos:
52×52×52
= 140608 sequências.
Em um baralho de 52 cartas, três são escolhidas sucessivamente.
Quantas são as sequências de resultados possíveis
se a escolha for feita sem
reposição?
Solução: Pelo PFC temos: 52×51×50 = 132600
sequências.
São sorteados na mega-sena seis
números escolhidos entre os números de 1 a 60. Quantos são
os resultados possíveis para o sorteio da mega-sena?
Solução: No jogo da mega-sena, a ordem com que os seis
números são escolhidos não tem importância, portanto,
o resultado deste jogo não é uma sequência.
Como o resultado é um subconjunto, então o número de
resultados possíveis neste tipo de loteria é o número
de combinações de 6 números escolhidos entre 60
números, ou seja,
C60,6 = (60 × 59 × 58 × 57 × 56
× 55) / 6! = 10 × 59 × 29 ×19 × 14 ×11 = 50063860
resultados possíveis.
Nota: Observe que a probabilidade (número
de chances) que uma pessoa tem de acertar nesta loteria fazendo uma única
aposta de seis números é de 1 em 50063860 (aproximadamente 0,000002%).
Uma prova de vestibular contém dez
questões do tipo múltipla escolha, tendo cada questão
cinco alternativas. Se todas as questões forem respondidas ao acaso,
qual o número de maneiras de preencher a folha de
resposta?
Solução: Resolver a prova representa uma ação
constituída de 10 etapas sucessivas, que correspondem à
resolução das 10 questões propostas. Para cada
questão, há 5 possibilidades de escolha de resposta.
Então, pelo PFC temos: 5 × 5 × 5 × 5 × 5
× 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 510 = 9765625 maneiras.
Sobre uma circunferência, tomam-se 10 pontos.
Quantos triângulos podem ser construídos com vértices
nesses pontos?
Solução: Para construir um
triângulo precisamos escolher 3 pontos
(vértices) dentre os 10 pontos disponíveis, e mais, a ordem
com que esta escolha é feita não tem importância. Logo,
o número de triângulos é o número de
combinações de 3 vértices escolhidos entre 10 pontos,
ou seja, C10,3 = (10 × 9 × 8) / 3! = 720
/ 6 = 120 triângulos.
(UNICAMP) Uma mesa de quatro pernas pode oscilar.
Já uma mesa de três pernas está sempre firme.
Explique.
Solução: A
geometria espacial nos diz que "Três pontos
não colineares, no espaço, determinam um único plano".
Isso significa que por três pontos não situados numa mesma reta
(ou por três pontos não alinhados) passa só um plano
que os possui. Assim, as três pernas determinam sempre um único
plano de fixação, portanto, não há
oscilação. Já quatro pernas determinam mais de um plano.
O número de planos determinados pelos quatro pontos é o
número de combinações de 3 pontos
escolhidos entre 4 pontos, ou seja, é C4,3 =
4×3×2 / 3! = 4 planos. Logo, neste caso pode ocorrer
oscilação.
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Bibliografia
