Um capital inicial de R$100,00 é aplicado
numa instituição financeira à taxa de juros simples
de 20% ao mês, ou seja, o valor do capital é alterado a cada
mês com um aumento de 20% em relação ao capital inicial.
A sequência de valores do capital, a cada mês, forma uma:
(A) PA de razão 0,2
(B) PG de razão 20
(C) PA de razão 20
(D) PG de razão 1,2
(E) PA de razão 2
Solução: Temos que R$100,00 é o valor do
capital inicial. Como 20% de 100 é
0,2×100 = 20, a sequência de valores (veja a tabela) é
uma progressão aritmética (sequência linear), pois, cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior somado
de um número fixo (que no caso é 20).
ao final do primeiro mês |
ao final do segundo mês |
ao final do terceiro mês |
ao final do quarto mês |
e assim por diante |
R$120,00 |
R$140,00 |
R$160,00 |
R$180.00 |
. . . |
Portanto, temos uma Progressão Aritmética de razão (ou diferença) r
= 20. Logo, (C) é a alternativa correta.
Um capital inicial é aplicado numa
instituição financeira à taxa de juros compostos de
20% ao mês. ou seja, o valor do capital aplicado é alterado
a cada mês com um aumento de 20% em relação ao mês
anterior ("juros sobre juros"). A sequência de valores do
capital, a cada mês, forma uma:
(A) PA de razão 0,2
(B) PG de razão 20
C) PA de razão 20
(D) PG de razão 1,2
(E) PA de razão 2
Solução: Aumentar um valor em 20% é o mesmo que multiplicar
este valor por 1,2. Seja R$100,00 o capital inicial. A sequência
de valores (veja a tabela) é uma progressão geométrica
(sequência exponencial), pois, cada termo, a partir segundo, é igual ao termo
anterior multiplicado por um número fixo (que no caso é 1,2).
ao final do primeiro mês |
ao final do segundo mês |
ao final do terceiro mês |
ao final do quarto mês |
e assim por diante |
R$120,00 |
R$144,00 |
R$172,80 |
R$207,36 |
. . . |
De um modo geral, para um capital inicial C qualquer, temos a
sucessão:
ao final do primeiro mês |
ao final do segundo mês |
ao final do terceiro mês |
ao final do quarto mês |
e assim por diante |
C×(1,2) |
C×(1,2)2 |
C×(1,2)3 |
C×(1,2)4 |
. . . |
Assim, temos uma Progresssão Geométrica de razão q =
1,2. Portanto, (D) é a alternativa correta.
Uma criança está brincando de fazer
quadrados com palitos de fósforos como mostra o desenho a
seguir.
a) Quantos palitos são necessários para
fazer 100 quadrados?
b) Quantos quadrados ela fez com 250 palitos?
Solução: a) Para fazer um quadrado é necessário
4 palitos. Para fazer dois quadrados é necessário 7 palitos.
Para fazer três quadrados é necessário 10 palitos , e
assim por diante.
Então, temos uma progressão aritmética:
PA (4
, 7 , 10 , 13 , 16 , ... ), onde o primeiro termo a1 = 4, a
razão (ou diferença) r = 3 .
Assim, temos que encontrar o centésimo termo somando 99 razões
ao primeiro termo, ou seja,
a100 = a1
+ 99r = 4 + 99(3) = 4 + 297 = 301 .
b) O enésimo termo an = a1 + (n-1)r é
o número de palitos e o número de termos n é o número
de quadrados .
Assim, 250 = a1 + (n-1)r. Segue que 250 = 4 + (n - 1)(3).
O que implica em, 250 = 4 + 3n - 3. Daí, vem que:: n = (250 - 1) /
3. Logo: n = 249 / 3 = 83 quadrados.
Quando o grande matemático Carl F. Gauss (1777
- 1855) tinha cerca de 10 anos, sua turma de escola tinha um professor que
gostava de passar problemas de Matemática trabalhosos quando esta
fazia bagunça. Uma vez, pediu aos alunos que calculassem a soma dos
inteiros de 1 até 100. O professor, ficou bastante surpreso quando,
em pouquíssimos minutos, Gauss entregou logo o resultado: 101×50
= 5050. Como ele chegou ao resultado de forma tão rápida?
Solução: Gauss percebeu que na soma 1 +
2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 , existe a seguinte propriedade: o resultado
da soma do primeiro com o último
número da série, 1 e 99, é
101; o resultado da soma do segundo com penúltimo, 2 e 99, é
também 101; o resultado do terceiro com antepenúltimo, 3 e
98, também é 101; e assim por diante. Como os números
de 1 a 100 formam 50 duplas, Gauss multiplicou 101 por 50 e chegou logo ao
resultado 5050.
Na verdade, o que Gauss descobriu foi que a soma dos n termos de uma
Progressão Aritmética é sempre igual a n vezes a média
aritmética de dois valores eqüidistantes dos extremos da
progressão, isto é,
a1 + a2 + a3 + a4 + ... +
an = (a1 + an) n / 2.
Assim, 1 + 2 + 3 + ... + 100 = (1 + 100)×100 / 2 = 101×50 = 5050.
(BANCO DO BRASIL) Numa progressão geométrica,
o quarto termo é 20% do terceiro termo. sabendo-se que
a1 = 2000, o valor de a5 é:
| (A) 20/3 |
(B) 16/5 |
(C) 12/7 |
(D) 18/7 |
(E) 14/7 |
Solução: Seja a PG (a1, a2 ,
a3 , a4 , a5 , ...).
Para encontramos o quinto termo de uma PG temos que multiplicar o primeiro
termo pela razão quatro vezes, ou seja, a5 = a1 ×
q4 .
Como a4 = a3 × 20/100 , vem
que a razão (ou quociente) da PG é q =
a4 /a3 = 20/100 = 2/10.
Então: a5 = 2000
× (2/10)4 = 2000 × 16 / 10000 = 32/10 = 16/5.
Logo, a alternativa correta é a (B).
(BACEN) Observe a
sequência de figuras abaixo (figura 1, figura 2, figura 3 , e
assim por diante).
Determine a quantidade dos menores triângulos
da figura 7.
Solução: Na figura 1 temos 1 triângulo. Na figura 2 temos
4 triângulos menores, Na figura 3 temos 16 triângulos menores,
e assim por diante.
Então, temos uma progressão geométrica:
PG (1 , 4 , 16 , 64 , ..., a7), onde a1 = 1 , a razão (ou quociente)
q = 4.
Nesta sequência o enésimo termo an =
a1×qn-1 é o número de triângulos
menores e n é o número da figura.
Assim , devemos encontrar o sétimo termo multiplicando o primeiro termo pela razão seis vezes, isto é,
a7 =
a1×q6 = 1×46 = 4096 triângulos
menores.
Uma jovem seria contratada como vendedora para trabalhar
de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecederiam
o natal. O dono da loja ofereceu R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho e
nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior. A jovem achou
a proposta humilhante. Recusou o trabalho. Se ela tivesse aceitado a proposta,
quanto teria recebido pelos 12 dias de trabalho?
Solução: Se a jovem soubesse Matemática não teria
recusado o trabalho. Observe que no primeiro dia ela teria recebido
R$ 1,00, no segundo dia R$ 2,00 , no terceiro R$ 4,00 , no quarto R$ 8,00 e
assim por diante. Assim, teríamos uma progressão geométrica
de razão q = 2 e primeiro termo a1 = 1. Então,
ela teria recebido pelos 12 dias trabalhados um total que é a soma
dos 12 primeiros termos desta P.G. , ou seja, S = a1(qn -
1) / (q - 1), onde n = 12.
Daí, vem que S = 1(212 - 1) / (2 - 1) = 212
- 1 = 4096 - 1 = R$ 4.095,00.
(UFRJ) Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinho
uma mesada de R$300,00 por mês. Riquinho, que é muito esperto,
disse a seu pai que, em vez da mesada de R$300,00, gostaria de receber um
pouquinho a cada dia: R$1,00 no primeiro dia de cada mês e, a cada
dia, R$1,00 a mais que no dia anterior. Seu Juca concordou, mas, ao final
do primeiro mês, logo percebeu que havia saído no prejuízo.
Calcule quanto, em um mês com 30 dias, Riquinho receberá a
mais do que receberia com a mesada de R$300,00.
Solução: No primeiro dia. Riquinho receberá R$1,00.
No segundo R$2,00. No terceiro R$3,00, e assim por diante.
Assim, em 30 dias , receberá a soma S = 1 + 2 + 3 + ... + 28 + 29
+ 30.
Podemos também ter S = 30 + 29 + 28 + ... + 3 + 2 + 1.
Então, S + S = 1 + 30 + 2 + 29 + 3 + 28 + ... + 28 + 3 + 29
+ 2 + 30 + 1.
O que implica em, 2S = 31 + 31 + 31 + ... + 31 + 31 + 31 = 31 ×
30. Logo S = 31 × 30 / 2 = 465.
Logo, Riquinho receberá 465 - 300 = R$165,00 a mais.
Poderíamos, também resolver da seguinte maneira: Observe que
a soma S é a soma (ou série) dos 30 primeiros termos da PA
(1 , 2 , 3 , 4 , ... , 29 , 30). Assim, S é 30 vezes a média
aritmética de dois valores equidistantes dos extremos da
sequência, ou seja, S = (a1 + an)
n / 2 , onde n = 30. Segue que, S = (1 + 30) × 30 / 2 = 31 × 30
/ 2 = 465.
Logo, Riquinho receberá 465 - 300 = R$165,00 a mais.
(UFRJ) A região fractal
F, constituída a partir de um quadrado de lado 1cm, é
constituída por uma infinidade de quadrados e construída em
uma infinidade de etapas. A cada nova etapa consideram-se os quadrados
de menor lado (L) acrescentados na etapa anterior e acrescentam-se, para
cada um destes, três novos quadrados de lado L/3. As três primeiras
etapas de construção de F são apresentadas a seguir.
Calcule a área de F.
Solução: Na etapa 1 a área
é: S = 1×1 = 1 cm2.
Na etapa 2 temos a área: S = 1 + (1/3)2+ (1/3)2
+ (1/3)2 = 1 + 3(1/9) = 1 + 1/3.
Na terceira etapa temos a área S = 1 + 1/3 + 9(1/9)2 =
1 + 1/3 + 1/9.
Na quarta etapa teremos a área: S = 1 + 1/3 + 1/9 +
27(1/27)2 = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27, e assim por diante. Então,
a área do fractal F é a
soma infinita S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... .
Observe que S é a soma dos termos de uma PG infinita decrescente:
a1 = 1 e a razão q = 1/3.
Então, S = a1(qn - 1) / (q - 1). Como n tende
a infinito e q = 1/3, vem que qn tende a zero, ou seja, o limite
de qn quando n tende a infinito é zero. Por conseguinte,
S = -a1 / (q - 1) = a1 / (1 - q).
Logo, S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... = 1 / (1 -1/3) = 1 / (2/3) = 3/2
cm2 = 1,5 cm2.
O rápido Aquiles persegue uma morosa tartaruga.
A velocidade do mais veloz e valente guerreiro grego é igual a 10
vezes a velocidade da tartaruga. A distância que os separa é
de 100 metros. Nessas condições, quando Aquiles vencer os 100
metros, a tartaruga terá corrido 1/10 do que percorreu Aquiles e
ficará 10 metros a sua frente. Quando Aquiles correr esses 10 metros,
a tartaruga terá percorrido 1/10 dessa distância e estará
1 metro a sua frente. Quando Aquiles correr esse metro, a tartaruga terá
percorrido 10 centímetros, e assim por diante. Esse raciocínio
pode levar muita gente a concluir que Aquiles, por mais rápido que
seja, nunca alcançará a tartaruga. Assim, pensava o filósofo
grego Zenon ou Zenão (450 a.C.). Então, quantos metros Aquiles
deverá correr para alcançar a tartaruga?
Solução: A conclusão de que Aquiles nunca
alcançará a tartaruga é um paradoxo
(contradição).
Aquiles, para alcançar a tartaruga, deverá correr a distância
S = 100 + 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + ...
Observe que S é a soma dos termos de uma PG infinita decrescente:
a1 = 100 e a razão q = 1/10.
Daí, vem que a soma é S = a1(qn - 1)
/ (q - 1) , mas, com n tendendo a infinito. Dizemos, então, que o
limite da soma S, quando n tende a infinito, é
S = a1 / (1 - q), pois como q = 1/10 e n tende a infinito, vem
que qn tende a zero.
Assim, S = a1 / (1 - q) = 100 / (1 - 1/10) = 100 / (9 /
10) = 1000 / 9 = 111,1111 ...
Concluindo, a fração 1000 / 9 , em metros, exprime a
distância que Aquiles deverá correr para alcançar a
tartaruga.
Contato
Política de Privacidade Vídeos
Problemas resolvidos
