Prof. Ezequias - Matemática

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Que relação existe entre o pentagrama, o corpo humano, o Partenon (templo consagrado à deusa da mitologia grega Atena), o crescimento de uma população de coelhos, a Monalisa e uma equação do segundo grau?
Mais de 500 anos antes de Cristo, os gregos (pitagóricos), estudando as relações entre os segmentos de um pentagrama (pentágono regular estrelado), descobriram um número que desempenha um papel importante na geometria, na estética, nas artes, na arquitetura e na biologia. Este número é chamado de número áureo (número de ouro) ou razão áurea (seção áurea).
A razão áurea aparece em muitas relações do corpo humano: a razão entre a altura de uma pessoa e a distância do umbigo aos pés, por exemplo. Manifesta-se na arquitetura clássica: a razão entre a medida da largura e a medida da altura do Partenon. Revela-se no fator de crescimento de uma população de coelhos estudada por Fibonacci. Foi usado várias vezes por Leonardo da Vinci em seus desenhos e pinturas.

Divida um segmento de reta em dois segmentos: x e 1-x. O número áureo F ( número FI ) é um número irracional que aparece na proporção ("divina proporção"): F = 1/x = x/(1-x).
Que número é este? (considere Ö5 = 2,236 aproximadamente).

Solução: Multiplicando a proporção 1/x = x/(1-x) "em cruz" obtemos a equação do segundo grau 1 - x = x² , ou seja,
x² + x - 1 = 0.
Resolvendo esta equação, usando a "fórmula de Baskara", segue que:
D = 1² - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5.
Logo x = (-1 + Ö5) / 2 ou x = (-1 - Ö5) / 2 . Como x é um número positivo, segue que x = (-1 + Ö5) / 2 = 0,618 aproximadamente. Então F = 1/x = 2 / (-1 + Ö5).
Vamos usar um procedimento conhecido como racionalização de denominadores. Multiplicando o numerador e o denominador da razão por (1 + Ö5), vem que:
F = 2(1 + Ö5) / (-1 + Ö5)^.(1 + Ö5) = 2(1 + Ö5) / (-1 + 5) = 2(1 + Ö5) / 4 = (1 + Ö5) / 2.
Considerando a raiz quadrada de 5 igual a 2,236 aproximadamente, concluimos que o número áureo é:
F = (1 + Ö5) / 2 = (1 + 2,236) / 2 = 3,236 / 2 = 1,618 aproximadamente.

Você sabia?
* Se você pegar uma concha em formato de espiral e calcular a razão de cada diâmetro de uma espiral para a seguinte, chegará sempre a um valor aproximado de 1,618.
** A divisão da altura de uma pessoa pela distância entre seu umbigo e o chão dará aproximadamente o mesmo valor de 1,618.
*** Se você dividir o número de fêmeas pelo número de machos em uma colméia de abelhas, sempre chegará ao mesmo número aproximado: 1,618.
Calcule, aproximadamente, o percentual de machos e de fêmeas em uma colméia.

Solução: Se, na colméia, a razão fêmeas / machos = 1,618, então fêmeas = machos × 1,618. Isto significa que se tivermos 1000 machos, teremos 1618 fêmeas em um total de 1000 + 1618 = 2618 abelhas.
Logo, aproximadamente, a porcentagem de fêmeas é 1618 / 2618 = 0,618 = 61,8% e a porcentagem de machos é 1000 / 2618 = 0,382 = 38,2%.

(UERJ) Observe a figura:

Depois de tirar as medidas de uma modelo, Jorge resolveu fazer uma brincadeira:
1º) esticou uma linha AB, cujo comprimento é metade da altura dela;
2º) ligou B ao seu pé no ponto C;
3º) fez uma rotação de BA com centro B, obtendo o ponto D sobre BC;
4º) fez uma rotação CD com centro C, determinando E sobre AC.
Para surpresa da modelo, CE é a altura do seu umbigo.
Tomando AB como unidade de comprimento e considerando Ö5 = 2,2 , a medida CE da altura do umbigo da modelo é:
(A) 1,3
(B) 1,2
(C) 1,1
(D) 1,0

Solução: Primeiro modo (usando o número áureo):

O resultado da divisão da altura de uma pessoa pela distância entre seu umbigo e o chão é o número áureo F = 1,618 aproximadamente.

Por conseguinte, AC / CE = 2 / x = 1,618.

x = 2 / 1,618 = 2000 / 1618 = 1,23 aproximadamente (opção B).

Segundo modo (Aplicando o Teorema de Pitágoras):

Observe que os segmentos BD e AB são raios de uma mesma circunferência, então, BD = AB.

De modo análogo, CE e CD são raios de uma mesma circunferência, logo, CE = CD.

Temos um triângulo retângulo de hipotenusa CD + BC = x + 1 e catetos AB = 1 e AC = 2.

Usando o Teorema de Pitágoras:

(x+1)² = 1² + 2² ,

segue que o valor procurado é CE = x = 1, 2 (alternativa B).

Adriane Galisteu e a geometria

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