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(UERJ) Considere a matriz A de ordem 4×5 tal que aij = 2i + j. A soma dos elementos da segunda linha dessa matriz é igual a ...
Solução: Os elementos da segunda linha dessa matriz são:
a21 = 2(2) + 1 = 5;
a22 = 2(2) + 2 = 6 ;
a23 = 2(2) + 3 = 7;
a24 = 2(2) + 4 = 8 ;
a25 = 2(2) + 5 = 9.
Assim, a soma dos elemento é:
5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35
a11 a12 a13 a14 a15
a21 a22 a23 a24 a25
a31 a32 a33 a34 a35
a41 a42 a43 a44 a45

Miriam preparou três tipos distintos de receitas usando quatro ingredientes em proporções variadas, conforme a tabela 1.

Tabela 1 Ovos Farinha Açúcar Carne
Receita 1

3

6

1

3
Receita 2

4

4

2

2
Receita 3

0

1

1

6

Os preços unitários dos ingredientes constam da tabela 2.

Tabela 2 Preço unitário
Ovos

R$ 0,20
Farinha

R$ 0,80
Açúcar

R$ 1,20
Carne

R$ 2,80

Determine a matriz (tabela 3) que registra o preço total de cada Receita.

Solução: A tabela 3 é uma matriz resultante do produto entre a tabela 1 e a tabela 2. Observe que o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz.

A multiplicação de matrizes é esquematizada pela transposição das linhas da primeira matriz para a multiplicação em correspondência de cada elemento das colunas da segunda, seguida da soma dos resultados.

Tabela 3

Preço total
Receita 1 3×0,20 + 6×0,80 + 1×1,20 + 3×2,80
Receita 2 4×0,20 + 4×0,80 + 2×1,20 + 2×2,80
Receita 3 0×0,20 + 1×0,80 + 1×1,20 + 6×2,80

Assim, a tabela procurada é:

Tabela 3 Preço total
Receita 1 R$ 15,00
Receita 2 R$ 12,00
Receita 3 R$ 18,80

Considere a matriz A do tipo 3×3 tal que aij = 2i - j. Calcule o seu determinante.

Solução: Calculando os elementos da matriz A de ordem 3:
a11 = 2(1) - 1 = 1 ; a12 = 2(1) - 2 = 0 ; a13 = 2(1) - 3 = -1 ;
a21 = 2(2) - 1 = 3 a22 = 2(2) - 2 = 2 ; a23 = 2(2) - 3 = 1 ;
a31 = 2(3) - 1 = 5 a32 = 2(3) - 2 = 4 a33 = 2(3) - 3 = 3 .

Primeiro modo (usando a regra prática de Sarrus para calcular o determinante).

Vamos: Acrescentar as duas primeiras colunas à direita da terceira; Subtrair (adicionar com o sinal trocado) os produtos dos elementos da diagonal secundária e das diagonais paralelas; Adicionar os produtos dos elementos da diagonal principal e das diagonais paralelas.

regra de Sarrus

Det A = 10 - 4 + 0 + 6 + 0 + 6 + 0 - 12 = 0

Segundo modo (usando as propriedades do determinante nulo).

O determinante de uma matriz é nulo, se esta matriz possuir: uma fila nula, ou, duas filas paralelas iguais, ou, duas filas paralelas proporcionais, ou, uma fila que é combinação linear das outras filas paralelas.

Então, como a terceira linha da matriz é combinação linear das outras  linhas, ou seja,

5 = 2(3) +(-1)(1) ,

4 = 2(2)+(-1)(0) ,

3 = 2(1)+(-1)(-1),

o determinante da matriz A é ZERO.

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