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Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupas utilizando 3 materiais diferentes. Considere a matriz A abaixo, onde cada elemento aij representa quantas unidades de material j serão empregados para fabricação de roupas do tipo i.
A Matemática das Matrizes
a) Quantas unidades de material 3 serão empregados na confecção de uma roupa tipo 1?
b) Quantas unidades de material 3 serão empregados na confecção de uma roupa tipo 2?
Solução: De acordo com o enunciado, temos a tabela:

Material 1

Material 2

Material 3

Roupa tipo 1

5

0

2

Roupa tipo 2

0

1

3

Roupa tipo 3

4

2

1

a) O número de unidades de material j = 3 na confecção de uma roupa tipo i = 1 é o elemento a13 da matriz A, ou seja, é o elemento da primeira linha com a terceira coluna a13 = 2 .

b) O número de unidades de material j = 3 na confecção de uma roupa tipo i = 2 é o elemento a23 da matriz A, ou melhor, é o elemento da segunda linha com a terceira coluna a23 = 3.

(UERJ) Denominamos "traço" de uma matriz a soma dos elementos da sua diagonal principal. Assinale a opção que contém o traço da matriz C abaixo:
C = A - 2B, onde, A = ( aij ) 2 × 2 , com aij = i + j   e
B = ( bij ) 2 × 2 , com bij = i2 - j


(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3

Solução: Cálculo dos elementos da matrizes A e B:
a11 = 1 + 1 = 2 ;

a12 =  1 + 2 = 3 ;

a21 = 2 + 1 = 3 ;  

a22 = 2 + 2 = 4.  

 b11 = 1 - 1 = 0 ;

b12 =  1 - 2 = -1 ;

b21 =  4 - 1 = 3 ;

b22 =  4 - 2 = 2.
matriz quedrada 2 por 2


Assim, o traço da matriz C é 2 + 0 = 2.  Logo, (C) é a alternativa correta.

Uma indústria eletrônica de ponta fabrica determinado equipamento em dois modelos P e Q. Na montagem do aparelho tipo P são utilizados 6 transistores, 9 capacitores e 11 resistores, e no modelo Q, 4 transistores, 7 capacitores e 10 resistores (veja a tabela 1).

Tabela 1

P

Q
Transistor

6

4
Capacitor

9

7
Resistor 11 10

Essa mesma indústria recebeu as seguintes encomendas para os meses de janeiro e fevereiro: a)  8 aparelhos do modelo P e 12 do modelo Q para o mês de janeiro; b) 10 aparelhos do modelo P e 6 do modelo Q  para o mês de fevereiro (veja a tabela 2).

Tabela 2 Janeiro Fevereiro

P

8

10

Q

12

6

Determine a  matriz (complete a tabela 3) que registra o total de transistores, capacitores e resistores que serão utilizados para atender às encomendas de cada mês.

Tabela 3 Janeiro Fevereiro
Transistor

   

   

Capacitor

   

   

Resistor

   

   

Solução: A tabela 1 é um exemplo de matriz do tipo 3×2. A tabela 2 é um exemplo de matriz de ordem 2×2. Observe que o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. A multiplicação destas matrizes resulta na tabela 3 que é uma matriz 3×2.

A multiplicação de matrizes é esquematizada pela transposição das linhas da primeira matriz para a multiplicação em correspondência de cada elemento das colunas da segunda, seguida da soma dos resultados.

Tabela 3

Janeiro

Fevereiro
Transistor

6×8  + 4×12

6×10 + 4×6
Capacitor

9×8 + 7×12

9×10 + 7×6
Resistor

11×8 + 10×12

11×10 + 10×6

Tabela 3

Janeiro

Fevereiro
Transistor

48 + 48

60 + 24
Capacitor

72 + 84

90 + 42
Resistor

88 + 120

110 + 60

E o resultado procurado é:

Tabela 3 Janeiro Fevereiro
Transistor

96

84
Capacitor

156

132
Resistor

208

170

(FJG) Considere a Matriz A abaixo.

A Matemática das planilhas

O valor do determinante de A é igual a:

(A) 15
(B) 18
(C) 21
(D) 24

Solução: Pelo Teorema de Laplace, o determinante da matriz A pode ser calculado assim:

Det A = 2(-1)1+1[(0)(7) - (-3)(2)] + 0(-1)1+2[(3)(7) - (2)(4)] + (-1)(-1)1+3[(3)(-3) - (0)(4)] .

Daí , vem que: Det A = 2[0 + 6] + 0 - [-9 - 0] = 12 + 0 + 9 = 21.

De outro modo: Como a matriz é de ordem 3 (3×3) podemos usar a regra prática de Sarrus: Acrescentar as duas primeiras colunas à direita da terceira; Subtrair (adicionar com o sinal trocado) os produtos dos elementos da diagonal secundária e das diagonais paralelas; Adicionar os produtos dos elementos da diagonal principal e das diagonais paralelas.
álgebra linear
Assim, o Det A = 0 + 12 + 0 + 0 + 0 + 9 = 21. Logo, (C) é a alternativa correta.

(PUC) Um batalhão do exército, resolveu codificar suas mensagens através da multiplicação de matrizes. Primeiramente, associa as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo considerada:

A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25


Desta forma, supondo que o batalhão, em questão, deseja enviar a mensagem "PAZ", pode-se tomar uma matriz 2x2, da forma:

mensagem, a qual, usando-se da tabela acima, será dado por:

matriz mensagem.

Tomando-se a matriz-chave C para o código, isto é:

matriz chave, transmite-se a mensagem "PAZ" através da multiplicação das matrizes M e C, ou seja:

matriz código.

Ou através da cadeia de números 31 47 50 75. Desta forma, utilizando-se a mesma matriz-chave C, a decodificação da mensagem 51 81 9 14 será compreendida pelo batalhão como a transmissão da palavra:
(A) LUTE
(B) FOGO
(C) AMOR
(D) VIDA
(E) FUGA

Solução: Esta é uma das inúmeras aplicações das matrizes: escrever mensagens em códigos, de modo que somente pessoas autorizadas possam decifrá-las (Criptografia básica). Como a matriz C codifica a mensagem, para decodificar temos que multiplicar por uma matriz D que desfaz o que matriz C faz, ou seja, temos que multiplicar pela matriz D inversa de C.
Para construir a Matriz D vamos usar o fato de que D é a matriz inversa de C se , e somente se, C×D = D×C = I, onde I é matriz identidade. Depois resolvemos os dois sistemas de equações resultantes.

Para que servem as matrizes?

Observe que a matriz C codificou a mensagem multiplicando a matriz M pela direita, então, temos que decifrar a mensagem multiplicando por D=C-1 também pela direita, pois a propriedade comutativa no produto de matrizes não é válida. Decodificando a mensagem 51 81 9 14, encontramos:

matriz decodificada

Logo, a mensagem 51 81 9 14 será compreendida como 21 9 4 1 , correspondendo a palavra VIDA.
A alternativa (D) é a opção correta.

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