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(UFRJ) Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupas utilizando 3 materiais diferentes. Considere a matriz A abaixo, onde cada elemento aij representa quantas unidades de material j serão empregados para fabricação de roupas do tipo i.
A Matemática das Matrizes
a) Quantas unidades de material 3 serão empregados na confecção de uma roupa tipo 2?
b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3.
Solução: De acordo com o enunciado, temos a tabela:

Material 1

Material 2

Material 3

Roupa tipo 1

5

0

2

Roupa tipo 2

0

1

3

Roupa tipo 3

4

2

1

a) O número de unidades de material j = 3 na confecção de uma roupa tipo i = 2 é o elemento a23 da matriz A, ou melhor, é o elemento da segunda linha com a terceira coluna a23 = 3 unidades.

b) O valor procurado é 5a11 + 4a21 + 2a31 = 5×5 + 4×0 + 2×4 = 25 + 0 + 8 = 33 unidades.

(UERJ) Denominamos "traço" de uma matriz a soma dos elementos da sua diagonal principal. Assinale a opção que contém o traço da matriz C abaixo:
C = A - 2B, onde, A = ( aij ) 2 × 2 , com aij = i + j   e
B = ( bij ) 2 × 2 , com bij = i2 - j


(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3

Solução: Cálculo dos elementos da matrizes A e B:
a11 = 1 + 1 = 2 ;

a12 =  1 + 2 = 3 ;

a21 = 2 + 1 = 3 ;  

a22 = 2 + 2 = 4.  

 b11 = 1 - 1 = 0 ;

b12 =  1 - 2 = -1 ;

b21 =  4 - 1 = 3 ;

b22 =  4 - 2 = 2.
matriz quadrada 2 por 2


Assim, o traço da matriz C é 2 + 0 = 2.  Logo, (C) é a alternativa correta.

Uma indústria eletrônica de ponta fabrica determinado equipamento em dois modelos P e Q. Na montagem do aparelho tipo P são utilizados 6 transistores, 9 capacitores e 11 resistores, e no modelo Q, 4 transistores, 7 capacitores e 10 resistores (veja a tabela 1).

Tabela 1

P

Q
Transistor

6

4
Capacitor

9

7
Resistor 11 10

Essa mesma indústria recebeu as seguintes encomendas para os meses de janeiro e fevereiro: a)  8 aparelhos do modelo P e 12 do modelo Q para o mês de janeiro; b) 10 aparelhos do modelo P e 6 do modelo Q  para o mês de fevereiro (veja a tabela 2).

Tabela 2 Janeiro Fevereiro

P

8

10

Q

12

6

Determine a  matriz (complete a tabela 3) que registra o total de transistores, capacitores e resistores que serão utilizados para atender às encomendas de cada mês.

Tabela 3 Janeiro Fevereiro
Transistor

   

   

Capacitor

   

   

Resistor

   

   

Solução: A tabela 1 é um exemplo de matriz do tipo 3×2. A tabela 2 é um exemplo de matriz de ordem 2×2. Observe que o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. A multiplicação destas matrizes resulta na tabela 3 que é uma matriz 3×2.

A multiplicação de matrizes é esquematizada pela transposição das linhas da primeira matriz para a multiplicação em correspondência de cada elemento das colunas da segunda, seguida da soma dos resultados.

Tabela 3

Janeiro

Fevereiro
Transistor

6×8  + 4×12

6×10 + 4×6
Capacitor

9×8 + 7×12

9×10 + 7×6
Resistor

11×8 + 10×12

11×10 + 10×6

Tabela 3

Janeiro

Fevereiro
Transistor

48 + 48

60 + 24
Capacitor

72 + 84

90 + 42
Resistor

88 + 120

110 + 60

E o resultado procurado é:

Tabela 3 Janeiro Fevereiro
Transistor

96

84
Capacitor

156

132
Resistor

208

170

Dada a matriz

determinante da matriz quadrada 2 por 2.,

calcule -a12×a21 + a11×a22 =

Solução: -a12×a21 + a11×a22 = = -(2)×1+2×(-1) = -2 - 2 = -4.

Nota: Este procedimento é usualmente chamado de cálculo do determinante da matriz A.

(PUC) Um batalhão do exército, resolveu codificar suas mensagens através da multiplicação de matrizes. Primeiramente, associa as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo considerada:

A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25


Desta forma, supondo que o batalhão, em questão, deseja enviar a mensagem "PAZ", pode-se tomar uma matriz 2x2, da forma:

mensagem, a qual, usando-se da tabela acima, será dado por:

matriz mensagem.

Tomando-se a matriz-chave C para o código, isto é:

matriz chave, transmite-se a mensagem "PAZ" através da multiplicação das matrizes M e C, ou seja:

matriz código.

Ou através da cadeia de números 31 47 50 75. Desta forma, utilizando-se a mesma matriz-chave C, a decodificação da mensagem 51 81 9 14 será compreendida pelo batalhão como a transmissão da palavra:
(A) LUTE
(B) FOGO
(C) AMOR
(D) VIDA
(E) FUGA

Solução: Esta é uma das inúmeras aplicações das matrizes: escrever mensagens em códigos, de modo que somente pessoas autorizadas possam decifrá-las (Criptografia básica). Como a matriz C codifica a mensagem, para decodificar temos que multiplicar por uma matriz D que desfaz o que matriz C faz, ou seja, temos que multiplicar pela matriz D inversa de C.
Para construir a Matriz D vamos usar o fato de que D é a matriz inversa de C se , e somente se, C×D = D×C = I, onde I é matriz identidade. Depois resolvemos os dois sistemas de equações resultantes.

Para que servem as matrizes?

Observe que a matriz C codificou a mensagem multiplicando a matriz M pela direita, então, temos que decifrar a mensagem multiplicando por D=C-1 também pela direita, pois a propriedade comutativa no produto de matrizes não é válida. Decodificando a mensagem 51 81 9 14, encontramos:

matriz decodificada

Logo, a mensagem 51 81 9 14 será compreendida como 21 9 4 1 , correspondendo a palavra VIDA.
A alternativa (D) é a opção correta.

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