Para que servem os logaritmos? Por exemplo, os logaritmos
servem para resolver o problema: Qual é o tempo necessário
para que um capital inicial empregado a taxa de 2% ao mês de juros
compostos, que são capitalizados mensalmente, dobre de valor? (considere:
log 1,02 = 0,0086 ; log 2 = 0,3010).
Solução: O regime de juros mais usado pelo mercado é o de juros
compostos. Neste regime o montante M e o capital inicial C estão relacionados
pela equação exponencial M = C(1 + i)n, onde n é o
número de meses. Como queremos M = 2C, segue que 2C =
C(1,02)n. Daí, vem que (1,02)n = 2.
Logo, n é o logaritmo de 2 na base 1,02. Mudando da base 1,02 para
a base 10 (decimal), temos que:
n = log 2 / log (1,02) = 0,3010 / 0,0086 = 3010 / 86 = 35 meses.
(Cesgranrio) O pH de uma solução é
definido por pH = log(1/H+) onde H+ é a
concentração de hidrogênio em íons-grama por litro
de solução. O pH de uma solução tal que
H+ = 1,0 × 10-8 é:
| (A) 7 |
(B) 10-8 |
(C) 1,0 |
(D) 8 |
(E) 0 |
Solução: Sabemos que o logaritmo decimal
de uma potência de base b real positiva e expoente a
real é igual ao produto do expoente a pelo logaritmo decimal
da base b da potência, ou seja,
log ba = a log b.
Sabemos também que 1 / 10-8 = 108
Assim, pela definição de pH dada, temos que pH = log(1 /
10-8) = log(108) = 8 log10 = 8(1) = 8. Logo, (D) é
a alternativa correta.
(PEB II) O IDH - Índice de Desenvolvimento
Humano - é um número entre 0 e 1, calculado pela média
aritmética de três índices: de educação,
de expectativa de vida ao nascer e do PIB em dólares. Com base nesses
dados e na comparação entre os países, é
possível analisar a qualidade de vida e o desenvolvimento humano no
planeta. O cálculo do índice do PIB é feito através
da seguinte fórmula:
onde PIB per capita é o valor da renda per capita do país
analisado, em dólar; 40000 dólares é o valor máximo
de renda per capita no mundo.
Um país que tenha o índice do PIB igual a 0,79, possui um PIB
per capita aproximado de:
| (A) 100 dólares |
(B) 500 dólares |
(C) 1000 dólares |
(D) 5000 dólares |
(E) 10000 dólares. |
(dados log 2 @ 0,30;
log 3 @ 0,48 ; log 5
@ 0,70).
Solução: Como 102 = 100 ,
103 = 1000, então, os logaritmos decimais log 100 = 2 e
log 1000 = 3.
Segue que log 40000 = log (8×5×1000) = log 23 + log
5 + log 1000 = 3 log 2 + log 5 + 3 .
Assim, log 40000 = 3(0,3) + 0,7 + 3 = 0,9 + 3,7 = 4,6.
Seja x o PIB per capita. Na fórmula dada, ficamos com:
0,79 = (log x - log 100) / (log 40000 - log 100) = (log x - 2) / (4,6 - 2)
= (log x - 2) / 2,6 .
Portanto, log x - 2 = 0,79×2,6 = 2,054, implicando em, log x = 2,054
+ 2 = 4,054 @ 4.
Como log x @ 4, concluimos
que o PIB per capita x = 104 = 10000 dólares aproximadamente
e a opção correta é a alternativa (E).
(UFRJ) Os números a, b e c
são tais que seus logaritmos decimais log a, log b e
log c, nessa ordem, estão em progressão aritmética.
Sabendo que log b = 2, determine o produto abc.
Solução: Como os logaritmos estão
em PA, vem que log a = 2 - r ; log b = 2 ; log c
= 2 + r, onde r é a razão da PA. Como log (abc) = log a + log
b + log c, segue que: log (abc) = 2 - r + 2 + 2 + r = 6.
Assim, pela definição de logaritmos, temos: log (abc) = 6,
o que implica em abc = 106 = 1.000.000 .
(UFRJ) Uma progressão geométrica de
8 termos tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do produto de
seus termos vale 36. Ache a razão da PG.
Solução: Seja a PG (a1 ,
a2 , a3 , ... , a8). Temos que: a1
= 10 , a2 = 10q , a3 = 10q2 ,
a4 = 10q3 , ... , a8 = 10q7 ,
onde q é a razão da PG. O produto de
seus termos é:
a1×a2×a3×
... ×a8 =
10×10q×10q2× ...
×10q7 =
108×q1+2+3+...+7.
Como 1+2+3+...+7 = (1+7)×7/2 =
8×7/2 = 28, vem que:
a1×a2×a3×
... ×a8 = 108q28. Assim, log
(a1×a2×a3×
... ×a8) = log (108q28) = log
108 + log q28 . Observando que podemos ter q>0 ou
q<0 , pela condição de existência do logaritmo no
conjunto dos números reais, segue que
o log (108q28) = log108 + log |q|28
= 8 + 28 log |q| = 36.
Portanto, log |q| = (36 - 8)/28 = 28/28 = 1. Logo, q
= 10 ou q = -10.
O ouvido humano pode perceber uma extensa faixa de
intensidades de ondas sonoras (som), desde cerca 10 -12
w/m2 ( que se toma usualmente como o limiar de audição)
até cerca de 1w/m2 (que provoca a sensação
de dor na maioria das pessoas). Em virtude da enorme faixa de intensidades
a que o ouvido é sensível e também em virtude de a
sensação psicologica da intensidade sonora não variar
diretamente com a intensidade mas, com melhor aproximação,
com o logaritmo da intensidade (Lei de Weber-Fechner), usa-se uma escala
logarítmica para descrever o nível de intensidade de uma onda
sonora. O nível de intensidade G medido em decibéis (db) se
define por G = 10 log (I / 10 -12), onde I é a intensidade
do som.
a) Calcule nessa escala, o limiar de
audição.
b) Calcule nessa escala, o limiar de audição
dolorosa.
Solução: a) No limiar da audição
a intensidade do som (em w/m2) é I = 10
-12 . Então, o nível (em db) é :
G = 10 log (10 -12 / 10 -12) =
10 log (1). Como log 1 = 0, pois, 1 = 100, segue que G = 0
decibéis.
b) No limiar da dor a intensidade do som (em
w/m2) é I = 1, Assim, G = 10 log ( 1 / 10 -12)
= 10 log ( 10 12).
Como log(a)b = b log (a) e log 10 = 1, pois, 101 =
10, vem que G = 120 log (10) = 120 decibéis.
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