Que relação existe entre o pentagrama,
o corpo humano, o Partenon (templo consagrado à deusa da mitologia
grega Atena), o crescimento de uma população de coelhos, a
Monalisa e uma equação do segundo grau?
Mais de 500 anos antes de Cristo, os gregos (pitagóricos), estudando
as relações entre os segmentos de um pentagrama (pentágono
regular estrelado), descobriram um número que desempenha um papel
importante na geometria, na estética, nas artes, na arquitetura e
na biologia. Este número é chamado de número áureo
(número de ouro) ou razão áurea (seção
áurea).
A razão áurea aparece em muitas relações do corpo
humano: a razão entre a altura de uma pessoa e a distância do
umbigo aos pés, por exemplo. Manifesta-se na arquitetura clássica:
a razão entre a medida da largura e a medida da altura do Partenon.
Revela-se no fator de crescimento de uma população de coelhos
estudada por Fibonacci. Foi usado várias vezes por Leonardo da Vinci
em seus desenhos e pinturas.
Divida um segmento de reta em dois segmentos: x e 1-x.
O número áureo é um número irracional
F
( número FI ) que aparece na proporção ("divina
proporção"):
F
= 1/x = x/(1-x).
Que número é este? (considere
Ö5 = 2,236 aproximadamente).
Solução: Multiplicando a proporção
1/x = x/(1-x) "em cruz" obtemos a equação do segundo grau 1
- x = x² , ou seja,
x² + x - 1 = 0.
Resolvendo esta equação, usando a
fórmula de Baskara, segue que:
D = 12 -
4(1)(-1) = 1 + 4 = 5.
Logo x = (-1 +
Ö5) / 2 ou x =
(-1 - Ö5) / 2
. Como x é um número positivo, segue que x = (-1 +
Ö5) / 2 = 0,618
aproximadamente. Então
F = 1/x = 2 / (-1 +
Ö5).
Vamos usar um procedimento conhecido como racionalização
de denominadores. Multiplicando o numerador e o denominador da razão por (1 +
Ö5), vem que:
F = 2(1 +
Ö5) / (-1 +
Ö5).(1
+ Ö5) = 2(1 +
Ö5) / (-1 + 5)
= 2(1 + Ö5) /
4 = (1 + Ö5) /
2.
Considerando a raiz quadrada de 5 igual a 2,236 aproximadamente, concluimos
que o número áureo
é:
F = (1 +
Ö5) / 2 = (1 +
2,236) / 2 = 3,236 / 2 = 1,618 aproximadamente.
Você sabia?
* Se você pegar uma concha em formato de espiral e calcular a razão
de cada diâmetro de uma espiral para a seguinte, chegará sempre
a um valor aproximado de 1,618.
** A divisão da altura de uma pessoa pela distância entre seu
umbigo e o chão dará aproximadamente o mesmo valor de 1,618.
*** Se você dividir o número de fêmeas pelo número
de machos em uma colméia de abelhas, sempre chegará ao mesmo
número aproximado: 1,618.
Calcule, aproximadamente, o percentual de machos
e de fêmeas em uma colméia.
Solução: Se, na colmeia, a razão fêmeas / machos
= 1,618, então fêmeas = machos × 1,618. Isto significa
que se tivermos 1000 machos, teremos 1618 fêmeas em um total de 1000
+ 1618 = 2618 abelhas.
Logo, aproximadamente, a porcentagem de fêmeas
é 1618 / 2618 = 0,618 = 61,8% e a porcentagem de machos é 1000
/ 2618 = 0,382 = 38,2%.
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