.
Solução: Usando as propriedades do limite de uma
função:
O resultado é 4/7.
Solução: Usando as propriedades do limite de uma função encontramos
a forma indeterminada 0 / 0, e nada podemos concluir ainda sobre o limite,
pois, o limite do quociente é o quociente dos limites somente quando
os limites do numerador e do denominador existem, sendo o do denominador
diferente de zero.
Contudo, podemos ver que x = -2 é raiz do polinômio do numerador
e também é raiz do polinômio do denominador. Pelo Teorema
de D'Alembert, estes dois polinômios são divisíveis por
(x + 2) . Logo, se x
¹ - 2, podemos dividir o numerador e o denominador por (x + 2).
Quando calculamos o limite de f(x), quando x tende a -2, estamos considerando
valores de x, próximos de -2, mas não iguais a -2. Assim, é
possível dividir o numerador e o denominador por (x + 2).
Resumindo:
Assim, o limite procurado é 5/4 = 1,25.
Solução: Usando indiscriminadamente as propriedades do limite de uma
função, temos que o limite é uma indeterminação 0 / 0.
Observe que x = -2 é raiz do polinômio do
numerador e também é raiz do polinômio do denominador.
Pelo Teorema de D'Alembert, estes polinômios são divisíveis
por (x + 2).
Como estamos considerando valores de x, bem próximos de -2 (tão
próximos de -2 quanto se queira), mas não iguais a -2,
fatoramos dividindo o numerador e o denominador por (x + 2). Podemos usar
o Algoritmo de Briot-Ruffini.
Resumindo:
Logo, o limite é -1/5 = - 0,2.
![(Cesgranrio) Sendo f(x) = x³, calcule o limite de [ f(x + h) - f(x) ] / h , quando h tende a zero.](derivada.gif)
Solução: Este limite define o conceito de
derivada de uma função f(x), portanto,
este limite é d(x³) / dx = 3(x3-1) = 3x².
De fato, se f(x) = x³ , então, f(x + h) = (x + h)³ = x³
+ 3x²h + 3xh² + h³.
Vem que, f(x + h) - f(x) = x³ + 3x²h + 3xh² + h³ - x³
= 3x²h + 3xh² + h³ = h(3x² + 3xh + h²).
Segue que, [ f(x + h) - f(x) ] / h = (3x²h + 3xh² + h³) /
h = 3x² + 3xh + h² .
Assim, calculando o limite de [ f(x + h) - f(x) ] / h quando h tendo a zero,
encontramos 3x² + 3x(0) + (0)² = 3x².
Logo, (D) é a
alternativa correta.
Solução: Aplicando indiscriminadamente as propriedades do limite de uma
função, temos que o limite é uma indeterminação
0 / 0. Logo, o polinômio do numerador e o polinômio do
denominador têm a mesma raiz x = a. Então, pelo Teorema de
D'Alembert estes polinômios são divisíveis por (x - a).
No cálculo do limite de uma função, quando x tende
a um valor a, interessa o comportamento da função quando
x se aproxima de a e não o que ocorre com a função
quando x = a.
Assim, dividimos o numerador e o denominador por (x - a), fatoramos para
cancelar o fator comum.
Resumindo:
![Resposta: (2/3)[a^(2-3)].](lim4.gif)
E o resultado é 2 / 3a.
Solução: Usando as propriedades básicas, temos que o
limite da função apresenta a forma indeterminada 0 /
0. Se o limite é dessa forma, a priori, não sabemos qual é
o resultado. No entanto, podemos usar um método geral conhecido como
Regra
de L'Hospital ou Regra de L'Hôpital, que permite, na vizinhança
de um ponto, comparar o quociente de duas funções com o quociente
de suas derivadas, ou seja, o limite do quociente de duas funções
é igual ao limite do quociente de suas derivadas, se as
funções são deriváveis e a derivada do denominador
não se anula.
Como as hipóteses estão satisfeitas, podemos aplicar L'Hospital:
E o limite procurado é 3 (alternativa c).
Solução: Usando as propriedades básicas, temos que o
limite da função tem a forma indeterminada 0 / 0. As
funções do numerador e do denominador são deriváveis
e a derivada do denominador não se anula. Então, podemos aplicar
L'Hospital:
O resultado procurado é -4 / 15 = -0,2666... (Opção
a).
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