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Calcule o limite da função f(x) = (x² - 2x) / (x² - 4), quando x tende a 2.

Solução: Usando as propriedades do limite de uma função, segue que lim (x² - 4) = 4 - 4 = 0 e lim (x² - 2x) = 4 - 4 = 0, quando x tende a 2, e nada podemos concluir ainda sobre o limite de f(x), quando x tende a 2, pois, temos a indeterminação lim f(x) = 0 / 0.

Como os polinômios (x² - 2x)  e (x² - 4), se anulam para x = 2 (observe as parábolas do gráfico abaixo), então, pelo Teorema de D'Alembert, estes polinômios são divisíveis por x - 2. Assim, fatorando o numerador, fatorando o denominador e depois suprimindo o fator comum x - 2 temos:

(x² - 2x) / (x² - 4) = (x + 2)(x - 2) / x(x - 2) = (x + 2) / x .

Como no cálculo do limite de uma função, quando x tende a um valor a, interessa o comportamento da função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com a função quando x = a, temos:

lim (x² - 2x) / (x² - 4) = lim (x + 2) / x , quando x tende a 2 (observe a hipérbole do gráfico acima).

Logo, lim f(x) = (2 + 2) / 2 = 2.

De fato, se f(x) = x³ , então, f(x + h) = (x + h)³ = x³ + 3x²h + 3xh² + h³.

Vem que, f(x + h) - f(x) = x³ + 3x²h + 3xh² + h³ - x³ = 3x²h + 3xh² + h³ = h(3x² + 3xh + h²).

Segue que, [ f(x + h) - f(x) ] / h = (3x²h + 3xh² + h³) / h = 3x² + 3xh + h² .

Assim, calculando o limite de [ f(x + h) - f(x) ] / h quando h tendo a zero, encontramos 3x² + 3x(0) + (0)² = 3x². Logo, (D) é a alternativa correta.