(CESGRANRIO) A figura abaixo representa uma área
de ruas de mão única. Em cada esquina em que há duas
opções de direção o tráfego se divide
igualmente entre elas.
Se 512 carros entram na área por P, determine o número dos
que vão sair por Y.
Solução: O tráfego de veículos
em P se divide em dois. Então, metade da quantidade dos carros
(½ do total) seguem em direção a X. Em seguida,
o tráfego se divide em dois novamente.
Portanto, na saída X teremos a metade da metade dos carros,
ou seja , teremos ½ × ½ = ¼.
Assim, na saída Y teremos o total de carros menos ¼
do total, ou seja, teremos 1 - ¼ = 3/4 dos carros. Se entram 512 carros
em P, então em Y vão sair 3/4 de 512 = 3/4 ×
512 = 3 × 512 / 4 = 384 carros.
(PMERJ) A operação
só lua aumentou em 1/3 o número de PMs nas ruas à noite.
Se esse aumento é de 666 PMs, então o número de PMs
a noite durante esta operação é ...
Solução: Seja n o número de PMs (antes da operação)
. Então,
n/3 = 666, o que implica n = 666 × 3 = 1998. Logo, o
número de PMs nesta operação é 1998 + 666 = 2664.
(CBMERJ) Numa
operação de salvamento, 72 pessoas estão à espera
de um barco para atravessar um rio. O barco pode transportar, no máximo,
5 dessas pessoas de cada vez. Calcule o número mínimo de viagens
necessárias para transportar todas as pessoas.
Solução: Dividindo 72 por 5 encontramos
14, mas sobram (resto) 2. Isto significa que é necessário 14
viagens para levar 70 pessoas e mais uma viagem para levar essas 2 pessoas
que soraram. Portanto, o número mínimo de viagens é
14 + 1 = 15.
O número 2,5252525 ... pode ser escrito na
forma de fração (é um número racional). Depois
de reduzida aos seus menores termos, calcule a soma do numerador e do denominador
dessa fração.
Solução: Seja x = 2,5252525...
, então 100x = 252,52525.... . Logo, 100x - x = 252,52525...
- 2,52525...= 250. Assim, 99x = 250, o que implica em x = 250/99
que é uma fração irredutível (já está
simplificada). Portanto, a soma é: 250 + 99 = 349.
(COLÉGIO NAVAL) Calcule
Ö0,444...
Solução: É melhor escrever o
número 0,444... na forma de fração para calcular a raiz
quadrada. Seja x = 0,444.... Então, 10x = 4,444....
Assim, 10x - x = 4,444... - 0,444... = 4. Logo, 9x = 4, o que
implica x = 4 / 9 .
Então
Ö0,444... =
Ö(4 / 9) = 2 / 3
= 0,666...
(PRF) Escrevendo os inteiros de 1 a 1993, inclusive,
quantas vezes o algarismo 1 é
escrito?
Solução: Temos que calcular quantas vezes
o algarismo 1 ocupa a posição das unidades, das dezenas, das
centenas e dos milhares.
Nas unidades ele aparece em (001 , 0011, 0021 , ...
, 0091 , 0101 , ... , 1991). Trata-se de uma
progressão aritmética de razão
r = 10 e a1 = 1. Logo, 1991 = 1 + 10(n - 1). Então, n =
(1991 - 1) /10 + 1 = 200 posições.
Nas dezenas, ele aparece em (0010 , 0011 , 0012, ...
, 0019) , (0110 , 0111 , 0112 , ... ,
0119) , ... , (1910 , 1911 , 1912 , ... ,
1919), para um total de 20×10 = 200 posições.
Nas centenas o 1 aparece em (0100 , 0101 , 0102 , ...
, 0199 , 1100 , 1101 , ... , 1199) , para um
total de 2×100 = 200 posições.
Nos milhares, ele aparece na seqüência (1000 , 1001
, 1002 , ... , 1993) , para um total de 994 posições.
Assim, o algarismo 1 parece 200 + 200 + 200 + 994 = 1594 vezes.
Escrevendo todos os números naturais de 1 a 100, quantas vezes
escrevemos o algarismo 3?
Solução: Temos que calcular quantas vezes o algarismo 3 ocupa
a posição das unidades, das dezenas e das centenas. Nas unidades,
do 3 ao 93 temos uma P.A. (3, 13, ..., 93) de razão r = 10 e
número de termos n = (93 - 3) / 10 + 1 = 10, ou seja, o algarismo
3 aparece 10 vezes. Nas dezenas, do 30 ao 39, o algarismo 3 aparece 10 vezes.
Nas centenas o algarismo 3 não aparece. Logo, o resultado procurado
é 10 + 10 = 20 vezes.
(OBM) Escrevendo todos os números inteiros de 100 a 999, quantas
vezes escrevemos o algarismo 5?
A) 250 B) 270
C) 271
D) 280
E) 292
Solução: Temos que calcular quantas vezes o algarismo 5 ocupa
a posição das unidades, das dezenas e das centenas.
Nas unidades, do 105 ao 995, temos uma P.A. de razão r = 10 e número
de termos n = (995 - 105) / 10 + 1 = 90, ou seja, o algarismo 5 aparece 90
vezes. Nas dezenas, do 150 ao 259, do 250 ao 259, …, do 950 ao 959,
o algarismo 5 aparece 9 × 10 = 90 vezes. Nas centenas, do 500 ao 599,
o algarismo 5 aparece 100 vezes. Assim , o resultado procurado é 90
+ 90 + 100 = 280 vezes. (alternativa D).
(OBM) Observe as multiplicações a
seguir:
12.345.679 × 9 = 111.111.111
12.345.679 × 18 = 222.222.222
12.345.679 × 27 = 333.333.333
12.345.679 × 36 = 444.444.444
12.345.679 × 45 = 555.555.555
12.345.679 × 54 = 666.666.666
Para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679
por ...
Solução: Observando que
12.345.679 × 9 = 111.111.111 ;
12.345.679 × 9 × 2 = 222.222.222 ;
12.345.679 × 9 × 3 = 333.333.333 ;
12.345.679 × 9 × 6 = 666.666.666 ;
e assim por diante.
Então: 12.345.679 × 9 × 9 = 999.999.999. Logo, para obter
999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por 81.
(CEFET-RJ) Entre 5 e 307, a quantidade de múltiplos, simultaneamente,
de 2 , 3 e 5 é
| a) 9.
|
b) 10.
|
c) 13.
|
d) 20.
|
e) 25.
|
Solução: Um número múltiplo ao mesmo tempo de
2, 3 e 5 , é múltiplo do MMC (2 , 3 , 5) = 30.
Assim, temos uma progressão aritmética,
de razão 30, que começa com 30 e termina com 300. Então:
300 = 30 + (n-1)×30.
Segue que: (n-1) = 270 /30 = 9. O que implica em n = 9 + 1 = 10.
Logo: b) 10 , é a alternativa correta.
(UFRJ) Um número natural deixa resto 3, quando
dividido por 7, e resto 5, quando dividido por 6. Qual o resto da divisão
desse número por 42?
Solução: Seja n um número natural. Pelo algoritmo da
divisão, se n deixa resto 3 quando dividido por 7, então n
= 7k + 3, para todo k inteiro. De modo análogo, se n deixa resto 5
quando dividido por 6, então n = 6q + 5, para todo q inteiro. Como
42 = 6×7, vem que, multiplicando n por 6, temos 6n = 42k + 18. Multiplicando
n por 7 , segue que 7n = 42q + 35.
Assim, 7n - 6n = 42q + 35 - (42k + 18) = 42q - 42k + 35 - 18 . Logo, n =
42(q - k) + 17. Como q - k é um número inteiro, pelo algoritmo
da divisão, concluímos que n deixa resto 17, quando dividido
por 42.
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