Prof. Ezequias - Matemática

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(CBMERJ) Numa operação de salvamento, 72 pessoas estão à espera de um barco para atravessar um rio. O barco pode transportar, no máximo, 5 dessas pessoas de cada vez. Calcule o número mínimo de viagens necessárias para transportar todas as pessoas.

Solução: Dividindo 72 por 5 encontramos 14, mas sobram (resto) 2, ou seja, pelo algoritmo da divisão 72 = 14×5 + 2. Isto significa que é necessário 14 viagens para levar 70 pessoas e mais uma viagem para levar essas 2 pessoas que sobraram. Portanto, o número mínimo de viagens é 14 + 1 = 15.

(PRF) Escrevendo os inteiros de 1 a 1993, inclusive, quantas vezes o algarismo 1 é escrito?

Solução: Temos que calcular quantas vezes o algarismo 1 ocupa a posição das unidades, das dezenas, das centenas e dos milhares.

Nas unidades ele aparece em (001 , 0011, 0021 , ... , 0091 , 0101 , ... , 1991). Trata-se de uma progressão aritmética de razão r = 10 e a₁ = 1. Logo, 1991 = 1 + 10(n - 1). Então, n = (1991 - 1) /10 + 1 = 200 posições.

Nas dezenas, ele aparece em (0010 , 0011 , 0012, ... , 0019) , (0110 , 0111 , 0112 , ... , 0119) , ... , (1910 , 1911 , 1912 , ... , 1919), para um total de 20×10 = 200 posições.

Nas centenas o 1 aparece em (0100 , 0101 , 0102 , ... , 0199 , 1100 , 1101 , ... , 1199) , para um total de 2×100 = 200 posições.

Nos milhares, ele aparece na seqüência (1000 , 1001 , 1002 , ... , 1993) , para um total de 994 posições. Assim, o algarismo 1 parece 200 + 200 + 200 + 994 = 1594 vezes.

Escrevendo todos os números naturais de 1 a 100, quantas vezes escrevemos o algarismo 3?

Solução: Temos que calcular quantas vezes o algarismo 3 ocupa a posição das unidades, das dezenas e das centenas.

Nas unidades, do 3 ao 93 temos uma P.A. (3, 13, ..., 93) de razão r = 10 e número de termos n = (93 - 3) / 10 + 1 = 10, ou seja, o algarismo 3 aparece 10 vezes.

Nas dezenas, do 30 ao 39, o algarismo 3 aparece 10 vezes. Nas centenas o algarismo 3 não aparece.

Logo, o resultado procurado é 10 + 10 = 20 vezes.

(OBM) Escrevendo todos os números inteiros de 100 a 999, quantas vezes escrevemos o algarismo 5?

A) 250 B) 270 C) 271 D) 280 E) 292

Solução: Temos que calcular quantas vezes o algarismo 5 ocupa a posição das unidades, das dezenas e das centenas.

Nas unidades, do 105 ao 995, temos uma P.A. de razão r = 10 e número de termos n = (995 - 105) / 10 + 1 = 90, ou seja, o algarismo 5 aparece 90 vezes.

Nas dezenas, do 150 ao 159, do 250 ao 259, …, do 950 ao 959, o algarismo 5 aparece 9 × 10 = 90 vezes.

Nas centenas, do 500 ao 599, o algarismo 5 aparece 100 vezes.

Assim , o resultado procurado é 90 + 90 + 100 = 280 vezes. (alternativa D).

(OBM) Observe as multiplicações a seguir:

12.345.679 × 9 = 111.111.111

12.345.679 × 18 = 222.222.222

12.345.679 × 27 = 333.333.333

12.345.679 × 36 = 444.444.444

12.345.679 × 45 = 555.555.555

12.345.679 × 54 = 666.666.666

Para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por ...

Solução: Observando que

12.345.679 × 9 = 111.111.111 ;

12.345.679 × 9 × 2 = 222.222.222 ;

12.345.679 × 9 × 3 = 333.333.333 ;

12.345.679 × 9 × 6 = 666.666.666 ;

e assim por diante.

Então: 12.345.679 × 9 × 9 = 999.999.999. Logo, para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por 81.

(CEFET-RJ) Entre 5 e 307, a quantidade de múltiplos, simultaneamente, de 2 , 3 e 5 é

a) 9.

b) 10.

c) 13.

d) 20.

e) 25.

Solução: Um número múltiplo ao mesmo tempo de 2, 3 e 5 , é múltiplo do MMC (2 , 3 , 5) = 30.
Assim, temos uma progressão aritmética, de razão 30, que começa com 30 e termina com 300. Então: 300 = 30 + (n-1)×30.
Segue que: (n-1) = 270 /30 = 9. O que implica em n = 9 + 1 = 10.
Logo: b) 10 , é a alternativa correta.

(UFRJ) Um número natural deixa resto 3, quando dividido por 7, e resto 5, quando dividido por 6. Qual o resto da divisão desse número por 42?

Solução: Seja n um número natural. Pelo algoritmo da divisão, se n deixa resto 3 quando dividido por 7, então n = 7k + 3, para todo k inteiro.

De modo análogo, se n deixa resto 5 quando dividido por 6, então n = 6q + 5, para todo q inteiro.

Como 42 = 6×7, vem que, multiplicando n por 6, temos 6n = 42k + 18. Multiplicando n por 7 , segue que 7n = 42q + 35.

Assim, 7n - 6n = 42q + 35 - (42k + 18) = 42q - 42k + 35 - 18 .

Logo, n = 42(q - k) + 17. Como q - k é um número inteiro, pelo algoritmo da divisão, concluímos que n deixa resto 17, quando dividido por 42.

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