Um mágico se apresenta em público vestindo
calça e paletó de cores diferentes. Para que ele possa se
apresentar em 24 sessões diferentes, qual é o número
mínimo de peças (número de paletós mais número
de calças) de que ele precisa?
Solução: Pelo PFC, se ele tem M paletós e N calças,
então M×N = 24. Como, 24 = 24 ×1 = 12×2 = 8×3
= 6×4, segue que o número de peças pode ser 24+1=25 ,
ou, 12+2=14 , ou , 8+3 =11 , ou, 6+4=10. Assim o número
mínimo de peças é 10.
(ESAF) As placas de automóveis constam de três letras
e quatro algarismos. o número de placas que podem ser fabricadas com
as letras P,Q,R e os algarismos 0,1,7 e 8 é:
a)6912 b)1269
c)43
d)144 e)1536
Solução: Temos uma ação constituída de 7 etapas. Como temos 3
letras para serem usadas, na primeira etapa temos 3 possibilidades, na segunda
também 3, na terceira idem. Como temos 4 algarismos para escolher,
na quarta etapa temos 4 possibilidades, na quinta também 4, na sexta
e na sétima idem. Pelo PFC, o número de placas é
3×3×3×4×4×4×4 = 6912.
Calcule o número de equipes de trabalho que poderão ser formadas
num grupo de dez indivíduos, devendo cada equipe ser constituída por
um coordenador, um secretário e um digitador.
Solução: Temos que escolher 3 pessoas entre 10 (ação constituída
de 3 etapas) e a ordem em que as pessoas são escolhidas FAZ
diferença. (coordenador, secretário, digitador). Para escolher o coordenador
temos 10 possibilidades; para escolher o secretário, como uma pessoa
já foi escolhida, temos 9 possibilidades e para escolher o digitador
sobram 8 possibilidades. Assim, pelo PFC, o número procurado é 10×9×8 = 720 .
(MACK) Os polígonos de K lados ( k múltiplos de 3), que podemos obter
com vértices nos 9 pontos da figura, são em número de:
(A) 83 (B) 84
(C) 85
(D) 168 (E)
169
Solução: Como K é múltiplo de 3, o valor de K é 3 (triângulo),
6 (hexágono) ou 9 (eneágono).
Para construir um triângulo precisamos escolher 3 pontos (vértices)
dentre os 9 pontos disponíveis, e mais, a ordem com que esta escolha
é feita NÃO FAZ diferença. Logo, o número de
triângulos é o número de combinações de
3 vértices escolhidos entre 9 pontos, ou seja,
C 9,3 = (9 × 8 × 7) / 3! = 504
/ 6 = 84 triângulos.
De modo análogo:
O número de hexágonos é
C 9,6 = (9 × 8 × 7 ×
6 × 5 × 4) / 6! = 60480 / 720 = 84.
O número de eneágonos é
C 9,9 = 9! / 9! = 1
Então, o número de polígonos é C9,3 +
C9,6 +
C9,9 = 84 + 84 + 1 = 169 (opção E)
Considere 7 círculos um ao lado do outro.
Cada um dos círculos deverá ser pintado com uma única
cor, escolhida dentre quatro disponíveis. Sabendo-se que dois
círculos consecutivos nunca serão pintados com a mesma cor,
então o número de forma de se pintar os círculos é?
Solução: Temos sete estapas de escolha. Na primeira temos 4 possibilidades. Na segunda
temos 3, pois, uma já foi escolhida na primeira. Na terceira,
teríamos 4 possibilidades, mas, como uma já foi escolhida na segunda,
teremos 3 possibilidades. Na quarta teríamos 4 possibilidades, mas,
como uma já foi escolhida na etapa anterior, teremos 3 possibilidades,
e assim sucessivamente para as três etapas restantes. Então,
pelo PFC, o número de forma de se pintar os círculos é:
4×3×3×3×3×3×3 = 2916
(FUVEST) Considere todas as trinta e duas seqüências, com cinco elementos
cada uma, que poderiam ser formadas com os algarismos 0,1. Quantas dessas
seqüências possuem pelo menos três zeros em posições
consecutivas?
Solução: Pelo menos três zeros, significa três zeros ou mais zeros. Considerando as 32 seqüências mencionadas no enunciado:
Vamos escrever as seqüências com 3 zeros
consecutivos: (0, 0, 0, 1, 1); (1, 0, 0, 0, 1) e (1, 1, 0, 0, 0)
Agora com 4 zeros consecutivos: (0, 0, 0, 0, 1); (1, 0, 0, 0, 0)
Com 4 zeros, mas 3 consecutivos: (0, 0, 0, 1, 0); (0, 1, 0, 0, 0)
Com 5 zeros: (0, 0, 0, 0, 0)
Total: 8 seqüências.
Uma classe de 10 alunos e 5 alunas. Formam-se comissões de 4 alunos
e 2 alunas. O número de comissões que participa o aluno X e
não participa a aluna Y é?
Solução: Sejam os alunos: A, B, C, D, E, F, G, H, I, X.
Sejam as alunas: J, K, L, M, Y.
O número de comissões de p pessoas escolhidas entre n pessoas
é o número de combinações n elementos tomados
p a p (a ordem com que é feito cada agrupamento NÃO FAZ
diferença).
Número de comissões que participa o aluno X é 1 ×
C9,3 = (9×8×7)/3! = 84
Número de comissões que NÃO participa a aluna Y é
C4,2 = (4×3)/2! = 6.
Pelo PFC temos que o resultado procurado é 84 × 6 = 504.
De quantos modos podemos estacionar 20 automóveis em 3 garagens
, sabendo que na primeira cabem 10 automóveis ; na segunda , 6 ; e
na terceira , 4?
Solução: Na primeira etapa temos escolher 10 automóveis
de 20. Na segunda etapa, como 10 já foram escolhidos, temos escolher
6 automóveis de 10. Por último, temos que escolher 4
automóveis dos 4 restantes (a ordem em que os automóveis
são escolhidos não faz
diferença). Assim pelo princípio fundamental
da contagem, o resultado procurado é:
C20,10
×C10,6
×C4,4 = 184756×210×1 = 38798760.
Nota: Este problema também poderia ser resolvido contando permutações com elementos repetidos:
20!/(10!×6!×4!) = 38798760.
O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2 moças
podem sentar-se em uma mesma fila de modo que SOMENTE as moças fiquem
todas juntas é igual a:
a) 6
b) 12 c) 24
d) 36
e) 48
Solução: Se não fosse "de modo que SOMENTE as
moças fiquem todas juntas", teríamos 48 maneiras:
MMRRR ------------> 2×1×3×2×1 = 12 ;
RMMRR ------------> 3×2×2×1 = 12 ;
RRMMR ------------> 3×2×2×1 = 12 ;
RRRMM ------------> 3×2×1×2×1 = 12 .
Observe que a segunda seqüência e a terceira seqüência
são as únicas onde SOMENTE as moças estão todas
juntas, logo o resultado procurado é 12 + 12 = 24 maneiras (letra c).
(ESAF / AFTN) - Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10
são homens e 10 são mulheres. Desse modo, o número de
comissões de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres
é:
a) 1650
b) 165
c) 5830
d) 5400
e) 5600
Solução: Temos duas etapas sucessivas: escolher 3 homens entre 10 e escolher 2 mulheres
entre 10 (a ordem em que as pessoas são escolhidas não faz
diferença). Logo, pelo PFC, o número de comissões é:
C10,3 ×
C10,2 = 120 × 45 = 5400.
Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares.
Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão
se acomodar para uma viagem?
Solução: Trata-se de uma acão constituída de 5 etapas. Na primeira etapa
temos 2 possibilidades de escolha, pois só dois sabem dirigir. Na
segunda etapa teríamos 5, mas, com uma já foi escolhida, temos
4 possibilidades. Na terceira temos 3 possibilidades, pois, duas já
foram escolhidas. Seguindo este raciocínio, na quarta 2 possibilidades
e na quinta 1 possibilidade. Assim, pelo PFC temos o resultado: 2×4×3×2×1 = 48
De um grupo de 9 professores, 5 lecionam matemática. Quantas
comissões de 3 componentes podem ser formadas de modo que em cada
uma compareça pelo menos um professor de matemática?
Solução: Pelo menos um, significa um ou mais. Assim, temos que:
escolher 1 que leciona matemática entre 5 e 2 que NÃO
lecionam matemática entre 4 +
escolher 2 que lecionam matemática entre 5 e 1 que NÃO
leciona matemática entre 4 +
escolher 3 que lecionam matemática entre 5 e nenhum que NÃO
leciona matemática entre 4 =
C5,1×C4,2+
C5,2×C4,1
+
C5,3×C4,0
= 30 + 40 + 10 = 80
Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados.
Para formar um único juri com 7 jurados. O número de formas
de compor um juri com pelo menos um advogado é:
Solução: Pelo menos um, significa um ou mais. Logo, temos que:
escolher 1 advogado entre 4 e 6 não advogados entre 6 +
escolher 2 advogados entre 4 e 5 não advogados entre 6 +
escolher 3 advogados entre 4 e 4 não advogados entre 6 +
escolher 4 advogados entre 4 e 3 não advogados entre 6 =
C4,1×C6,6
+
C4,2×C6,5
+
C4,3×C6,4
+
C4,4×C6,3
= 4 + 36 + 60 + 20 = 120.
Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados
utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são
ímpares e começam com um dígito par?
Solução: Como existem 3 ímpares {1,5,7}e 3 pares {2,4,8}para serem utilizados,
pelo PFC temos:
Quantidade de números com 2 algarismos distintos: 3×3 = 9 ;
Quantidade de números com 3 algarismos distintos: 3×4×3 = 36 ;
Quantidade de números com 4 algarismos distintos:
3×4×3×3 = 108 ;
Quantidade de números com 5 algarismos distintos:
3×4×3×2×3 = 216 ;
Quantidade de números com 6 algarismos distintos:
3×4×3×2×1×3 = 216 .
A resposta do problema é:
3×3 + 3×4×3 + 3×4×3×3
+ 3×4×3×2×3 + 3×4×3×2×1×3 =
9 + 36 + 108 + 216 + 216 = 585.
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