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(PUC) Escolhe-se, aleatoriamente, uma comissão de 5 pessoas entre 10 meninos e 6 meninas. Qual a probabilidade de a comissão escolhida ter exatamente 3 meninos? (escollher o valor mais aproximado).
(A) 21%        (B) 24%          (C) 27%          (D) 30%           (E) 41%

Solução: O número de casos possíveis é o número de combinações de 5 pessoas escolhidos entre 16 pessoas, isto é, C16,5 = 4368. O número de casos favoráveis é o número de combinações de 3 meninos escolhidos entre 10 e o número de combinações de 2 meninas escolhidas entre 6 meninas, ou seja, é C10,3 × C6,2 = 120 × 15 = 1800. Logo, a probabilidade é o valor aproximado de 1800 / 4369 = 0,412 = 41,2%. Assim, o valor mais aproximado está na alternativa (E).
(UNICAMP) Em uma festa para calouros estão presentes 250 calouros e 350 calouras. Para dançar, cada calouro escolhe uma caloura ao acaso formando um par. Pergunta-se:
a) Quantos pares podem ser formados?
b) Qual a probabilidade de que uma determinada caloura não esteja dançando no momento em que todos os 250 calouros estão dançando?
Solução: a) Na escolha dos calouros temos 250 possibilidades e na escolha das calouras temos 350 possibilidades. Então, pelo PFC o número de pares é: 250 × 350 = 87500.

b) O número de casos possíveis é o número de todas as calouras: 350. O número de casos favoráveis é o número de calouras que não estão dançando, ou seja, é 350 - 250 = 100. Logo, a probabilidade procurada é 100 / 350 = 2/7 = 28,5% .

Seja ABCDE um pentágono regular. Qual a medida do ângulo DÂC ?
(A) 72 graus;           (B) 64 graus;             (C) 48 graus;               (D) 42 graus;                (E) 36 graus.

Solução: Seja O centro da circunferência circunscrita ao pentágono regular.

Pentágono regular inscrito numa circunferência

Temos que os ângulos centrais AÔB = BÔC = AÔE = EÔD = DÔC = 72 graus, pois, a soma AÔB + BÔC + AÔE + EÔD + DÔC = 360 graus. Como, um ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente, vem que , o ângulo inscrito DÂC = 72 / 2 = 36 graus, o que corresponde a alterenativa (E).

(FUVEST) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que está pirâmide possui:
(A) 33 vértices e 22 aresta
(B) 12 vértices e 11 arestas
(C) 22 vértices e 11 arestas
(D) 11 vértices e 22 arestas
(E) 12 vértices e 22 arestas
Solução: Temos que, as 11 faces triangulares são faces laterais; estas 11 faces, por serem laterais, determinam, na base da pirâmide, um polígono de 11 lados e por conseguinte 11 vértices. Assim, o número de vértices é 12 (11 vértices na base e mais o vértice principal) e o número de arestas é 22 (11 arestas na base e 11 arestas laterais). Logo, (E) é a alternativa correta.
Num trapézio ABCD a base maior tem medida CD = 110 cm e a base menor tem medida AB = 50 cm. Sabe-se que o ângulo ÐABC é o dobro do ângulo Ð ADC. Calcule a medida do lado BC ?
(A) 40 cm;           (B) 50 cm;             (C) 60 cm;               (D) 70 cm;                (E) 80 cm.

Solução: Com o auxílio da construção do segmento BE de modo que BE // AD (de modo que os segmentos BE e AD sejam paralelos), obtemos um paralelogramo ABED.

Problema resolvido por construção

Assim, temos os ângulos: ÐABE = ÐADC = ÐBEC = a. Como o ângulo ÐABC = a + b é o dobro do ângulo ÐADC = a, fica fácil deduzir que ÐEBC = ÐBEC, isto é, a = b. Então, o triângulo EBC é isósceles de base BE, ou seja, BC = EC = x. Sendo, DC = 50 + x = 110, vem que, o lado BC = x = 110 - 50 = 60. Logo, (C) é a opção correta.

O gráfico ao lado fornece o perfil do lucro de uma indústria
ao longo do tempo, sendo 1970 o ano zero, ou seja, o ano
de sua fundação. a) Qual foi o ano de maior lucro no período
que vai da fundação até o ano de 1985?
b) Qual foi o ano de maior lucro?.		 gráfico lucro versus tempo

Solução: a) No gráfico, o ano de maior lucro no período que vai da fundação até o ano zero é 1970 + 5 = 1975.

b) O ano de maior lucro foi 1970 + 20 = 1990.

O cálculo da área sob uma curva no plano cartesiano tem sido uma ferramenta muito importante na Engenharia, Estatística, Física e Economia. Calcule as áreas das superfícies sombreadas das figuras abaixo (considere o cm como unidade):

a) Área sob uma curva b) Área sob uma curva

Solução: a) A figura é formada por 8 retângulos. Calculando as áreas dos 8 retângulos, obtemos:
A1 = 1 × 4 = 4 cm2 ; A2 = 1 × 2 = 2 cm2 ; A3 = 1 × 3 = 3 cm2 ; A4 = 1 × 5 = 5 cm2 ; A5 = 1 × 3 = 3 cm2 ;
A6 = 1 × 4 = 4 cm2 ; A7 = 1 × 1 = 1 cm2 ; A8 = 1 × 2 = 2 cm2. A área total A = 4 + 2 + 3 + 5 + 3 + 4 + 1 + 2 = 24 cm2.

b) A figura é formada por 1 retângulo e 2 triângulos. A área do retângulo é A1 = 6 × 3 = 18 cm2.
A área do triângulo é A2 = 2 × 2 / 2 = 2 cm2. A área do outro triângulo é A3 = 1 × 3 / 2 = 3 / 2 = 1,5 cm2. Assim, a área total é A = 18 + 2 + 1,5 = 21,5 cm2.

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