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| (A) y' = -x / y | (B) y' = x / y | (C) y' = y / x | (D) y' = -y / x | (E) y' = 1 / y |
Como a derivada de uma curva num determinado ponto é o coeficiente angular da reta tangente neste ponto, vamos calcular a derivada y' = dy/dx por diferenciação implícita.
Então, ficamos com d(x2)/dx + d(y2)/dx = d(r2)/dx.
Usando a regra da cadeia e outras propriedades da derivada, segue que, 2x + 2y(dy/dx) = 0.
Assim, 2y(dy/dx) = -2x. Daí, vem que, dy/dx = -2x / 2y = -x / y.
Logo, a equação diferencial é y' = -x / y e (A) é a opção correta.
| (Cesgranrio) A área máxima que pode ter um retângulo inscrito em um semicírculo de raio 1, como o da figura ao lado é: |  |
| (A) 1/2 | (B) 2/3 | (C) 1 | (D) 3/2 | (E) 2 |
Chamemos de x o ângulo agudo ÐCOD .
Assim, no triângulo retângulo DCOD teremos: sen x = DC / r = DC e cos x = OC / r = OC. Calculando a área A do retãngulo, de base BC = 2 cos x e altura DC = sen x, em função de x teremos A(x) = 2(cos x)(sen x) . A(x) será máximo quando a derivada A'(x) = dA / dx = 0.
Calculando a derivada encontramos: A'(x) = (2cos x)(cos x) + (-2sen x)(sen x) = 2cos² x - 2sen² x = 2(cos² - sen² x) = 2cos 2x. Fazendo 2cos 2x = 0, encontramos cos 2x = 0.
Como cos p / 2 = 0, temos a equação trigonométrica cos 2x = cos p / 2 , cuja solução é 2x = ± p / 2 + 2Kp, onde K é um número inteiro, implicando em x = ± p / 4 + Kp.
Como sen x , 2cos 2x e A(x) são valores positivos, segue que o valor de x que torna A(x) máximo é x = p / 4.
Logo, a área máxima é A(p / 4) = 2cos(p / 4).sen(p / 4) = 2(2 / 4) = 4 / 4 = 1. A opção (C) é a correta.
Assim, para que haja a máxima transferência de energia (P máximo) é necessário que a resistência externa R tenha o mesmo valor da resistência interna r do gerador. Este resultado é usualmente denominado de Teorema da máxima transferência de potência, ou, princípio de casamento de impedância.
Seja P o lucro, e como o lucro é obtido subtraindo o custo da renda
total, temos P = cz - (ax + by) onde z = f(x,y), a, b, c são preços
unitários.
Então P = 16(100z) - 400 - 800y = 1600 [ x + (5/2)y -
(1/8)x2 - (1/4)y2 - (9/8)] - 400x - 800y , onde x e
y estão no intervalo
]0,+¥[ . Logo,
calculando as derivadas parciais de P (com respeito as variáveis x
e y):
¶P/¶x = 1600 [1 + 0 - (2/8)x - 0 - 0] - 400 - 0 = 1600 - 400x - 400 = 1200 - 400x ,
¶P/¶y = 1600 [0 + (5/2) - 0 - (2/4)y - 0] - 0 -800 = 4000 - 800y - 800 = 3200 - 800y .
Temos também: ¶2P/¶x2 = 0 - 400 = -400 ,
¶2P/¶y2 = 0 - 800 = -800 ,
¶2P/¶y¶x = ¶(1200 - 400x)/¶y = 0.
Igualando as derivadas parciais a zero, temos o sistema: 200 - 400x = 0 e 3200 - 800y = 0.
Resolvendo o sistema encontramos x = 3 e y = 4. Então (3 , 4) é um ponto crítico.
Usando o teorema do teste da derivada segunda, segue que:
D = (¶2P/¶x2)(¶2P/¶y2) - (¶2P/¶y¶x )2 = (-400)(-800) - 02 = 320000.
Como D é positivo e ¶2P/¶x2 é negativo, então P tem um valor máximo relativo em (3 , 4).
Como x e y estão no intervalo ]0,+¥[, observe que P é um número negativo quando x e y estão próximos de zero ou próximos do infinito, então o valor máximo relativo de P é um valor máximo absoluto.
Assim, o valor de z no ponto (3 , 4) é f(3,4) = 3 + (20/2) - (9/8) - (16/4) - (9/8) = 3 + 10 - 4 -(9/4) = 27/4.
Logo, o lucro máximo é:
P = 1600 (27/4) - 400 (3) - 800 (4) = 10800 - 1200 - 3200 = 6400.
Concluindo: O lucro máximo é 6400 dólares.
Calculamos as derivadas parciais de S e as igualamos a zero, pois queremos encontrar x, y e z que tornam S mínimo.
Usando o teorema do teste da derivada segunda para x = y = 4 e z = 2 , segue que:
D = (¶2S/¶x2)(¶2S/¶y2) - (¶2S/¶y¶x )2 = (128 / x3)(128 / y3) - 1 = (128/64)(128/64) - 1 = 4 - 1 = 3.
Como D é positivo e ¶2P/¶x2 é positivo, segue que S tem um valor mínimo relativo e portanto um valor mínimo absoluto quando x = y = 4 e z = 2.
Concluindo: para que sua superfície total seja mínima a caixa, com 32m3, tem que ter base quadrada de lado 4 m e uma profundidade (altura) que mede 2m.