Prof. Ezequias - Matemática

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(FJG) Considere a Matriz A abaixo.

A Matemática das planilhas

O valor do determinante de A é igual a:

(A) 15
(B) 18
(C) 21
(D) 24

Solução: Determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Numa matriz quadrada 2×2 (ordem 2) o determinante é -a₁₂×a₂₁ + a₁₁×a₂₂, ou seja, a₁₁×a₂₂ - a₁₂×a₂₁. Para calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem n ³3, podemos usar o Teorema de Laplace:

Teorema de Laplace

Det A = 2(-1)¹⁺¹[(0)(7) - (-3)(2)] + 0(-1)¹⁺²[(3)(7) - (2)(4)] + (-1)(-1)¹⁺³[(3)(-3) - (0)(4)] .

Daí , vem que:

Det A = (2)[0 + 6] - (0)[21 - 8] + (-1)[-9 - 0] = (2)(6) - (0)(13) + (-1)(-9) = 12 - 0 + 9 = 21.

Observe que usamos a primeira linha como referência. Usando a segunda coluna como referência temos:

Det A = 0 + 0 + (-3)(-1)³⁺²[(2)(2)-(3)(-1)] = (3)[4+3] = 21.

De outro modo: Como a matriz é de ordem 3 (3×3) podemos usar a regra prática de Sarrus: Acrescentar as duas primeiras colunas à direita da terceira; Subtrair (adicionar com o sinal trocado) os produtos dos elementos da diagonal secundária e das diagonais paralelas; Adicionar os produtos dos elementos da diagonal principal e das diagonais paralelas.
álgebra linear
Assim, o Det A = 0 + 12 + 0 + 0 + 0 + 9 = 21. Logo, (C) é a alternativa correta.

Considere a matriz A do tipo 3×3 tal que a_ij= 2i - j. Calcule o seu determinante.

Solução: Calculando os elementos da matriz A de ordem 3:

a₁₁= 2(1) - 1 = 1 ; a₁₂ = 2(1) - 2 = 0 ; a₁₃ = 2(1) - 3 = -1 ;

a₂₁ = 2(2) - 1 = 3 a₂₂ = 2(2) - 2 = 2 ; a₂₃ = 2(2) - 3 = 1 ;

a₃₁ = 2(3) - 1 = 5 a₃₂ = 2(3) - 2 = 4 a₃₃ = 2(3) - 3 = 3 .

Determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Vamos calcular o determinante.

Primeiro modo (usando a regra prática de Sarrus)

Acrescentar as duas primeiras colunas à direita da terceira; Subtrair (adicionar com o sinal trocado) os produtos dos elementos da diagonal secundária e das diagonais paralelas; Adicionar os produtos dos elementos da diagonal principal e das diagonais paralelas.

regra de Sarrus

Det A = 10 - 4 + 0 + 6 + 0 + 6 + 0 - 12 = 0

Segundo modo (usando as propriedades do determinante nulo).

O determinante de uma matriz é nulo, se esta matriz possuir: uma fila nula, ou, duas filas paralelas iguais, ou, duas filas paralelas proporcionais, ou, uma fila que é combinação linear das outras filas paralelas.

Então, como a terceira linha da matriz é combinação linear das outras linhas, ou seja,

5 = 2(3) +(-1)(1) ,

4 = 2(2)+(-1)(0) ,

3 = 2(1)+(-1)(-1),

o determinante da matriz A é ZERO.

Calcule o determinante da matriz

matriz quadrada do tipo 4 por 4.

Solução: Como a matriz e do tipo 4×4, vamos usar o Teorema de Laplace e depois a regra de Sarrus. Para aplicação do Teorema de Laplace convém escolher uma linha ou coluna da matriz com o maior número possível de zeros. Logo, escolhemos a primeira linha como referência.

determinante de matriz de quarta ordem.

Assim, o determinante da matriz A é -24.

(UNESP) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, onde

Com base na fórmula p(x) = det A, determine:

a) o peso médio de uma criança de 5 anos;

b) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg.

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a₁₁= 2(1) - 1 = 1 ;	a₁₂ = 2(1) - 2 = 0 ;	a₁₃ = 2(1) - 3 = -1 ;
a₂₁ = 2(2) - 1 = 3	a₂₂ = 2(2) - 2 = 2 ;	a₂₃ = 2(2) - 3 = 1 ;
a₃₁ = 2(3) - 1 = 5	a₃₂ = 2(3) - 2 = 4	a₃₃ = 2(3) - 3 = 3 .