Prof. Ezequias - Matemática

Os calçados são medidos por números: 35, 36 e 37 para a maiora das mulheres e 38, 40 e 41 para a maioria dos homens. O número y do sapato depende do comprimento x (em cm) do pé, e a fórmula para calcular y é:

y = (5x+28)/4

Com base nessa relação, responda:
a) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 24,8 cm?
b) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 20 cm?
c) Quanto mede o comprimento de um pé que calça 42?

Solução: Temos que o número y do sapato, de uma pessoa, está em função do comprimento x do pé, através da lei de correspondência y = (5x + 28) / 4.

Gráfico da função y =1,25x + 7

Para cada comprimento x do pé, existe um único número y do calçado, isto é, para cada número x, existe um único número y = f(x) associado.

a) Para o comprimento x = 24,8 cm, temos o número y = [5(24,8) + 28] / 4 = (124 + 28) / 4 = 152 / 4 = 38.

b) Para o comprimento x = 20 cm , temos o número y = [5(20) + 28] / 4 = (100 + 28) / 4 = 128 / 4 = 32

c) Para o número y = 42, temos que encontrar o comprimento x na equação do primeiro grau (5x + 28) / 4 = 42.

Daí, vem que 5x + 28 = 168, o que implica em 5x = 168 - 28.

Então, 5x = 140. Logo, o comprimento x = 140 / 5 = 28 cm.

Maria e João resolveram trocar mensagens sigilosa usando funções inversas. Inicialmente, relacionam números ao alfabeto (veja a tabela abaixo onde o símbolo # representa um espaço em branco).

# A B C ... J K L ... W X Y Z

0 1 2 3 ... 10 11 12 ... 23 24 25 26

Em seguida definem a função que vai codificar a mensagem: y = 2x - 3. Assim, por exemplo, à mensagem REVISTA, Maria associa a seqüência numérica 18 5 22 9 19 20 1 , mas envia a João a seqüência numérica obtida pelas imagens da função y = 2x - 3, ou seja, 33 7 41 15 35 37 -1. Desta forma se Maria envia a João, utilizando-se da mesma função, a seqüência -1 3 7 33 37 27 39 , qual é a mensagem que será compreendida pelo João?

Solução: Uma função é inversa de uma outra quando ela desfaz o que outra faz e vice-versa.
Se a função que codifica (cifra) a mensagem é a função y = 2x - 3, então a função que decodifica (decifra ou traduz) é a função inversa de y = 2x -3. Para calcular a função inversa de y = 2x - 3 , trocamos o x pelo y e depois isolamos o y.

Então, x = 2y - 3 , o que implica em -2y = -x - 3, isto é, 2y = x + 3. Logo y = (x + 3) / 2 é a função inversa.

Como Maria enviou a sucessão -1 3 7 33 37 27 39 , obtida pelas imagens da função y = 2x -3, João, para entender a mensagem, tem que obter a sucessão pelas imagens de y = (x + 3) / 2 :
Para x = -1, temos y = (-1 + 3) / 2 = 1 ;
Para x = 3 , temos y = (3 + 3) / 2 = 3 ;
Para x = 7, temos y = (7 + 3) / 2 = 5 ;
Para x = 33 , temos y = (33 + 3) / 2 = 18 ;
Para x = 37, temos y = (37 + 3) / 2 = 20 ;
Para x = 27, temos y = (27 + 3) / 2 = 15 ;
Para x = 39, temos y = (39 + 3) / 2 = 21.

Assim a mensagem entendida (decodificada) por João é 1 3 5 18 20 15 21, o que corresponde a mensagem ACERTOU.

Dadas as funções reais f(3x+1) = x+2 e g(x-3) = 4x+7 , calcule o valor de f(4) + g(-l).

Solução: Pela definição dada, temos:

f(4) = f(3×1+1) = 1+2 = 3 .

g(-1) = g(2-3) = 4×2+7 = 15 .

Então, f(4) + g(-1) = 3 + 15 = 18 .

(UNICAMP) Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo:

Plano	Custo fixo mensal	Custo adicional por minuto
A	R$ 35,00	R$ 0,50
B	R$ 20,00	R$ 0,80
C	0	R$ 1,20

a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize 25 minutos por mês?
b) A partir de quantos minutos de uso mensal o plano A é mais vantajoso que os outros dois?

Solução: a) O preço y depende (está em função) do tempo x em minutos.
Então, no plano A temos a função y = 0,5x + 35 = 0,5(25) + 35 = 42,50.
No plano B temos y = 0,8x + 20 = 0,8(25) + 20 = 40,00.
No plano C temos y = 1,2x = 1,2(25) = 30,00.
Assim, o plano C é o mais vantajoso (mais barato) para alguém que utilize 25 minutos por mês.

b) Este problema pode ser resolvido com o uso de gráficos:

Três retas

Observando os coeficientes angulares (1,2 > 0,8 > 0,5) das retas, temos que o preço do plano C aumenta com mais rapidez que o preço do plano B. Este, por sua vez, cresce com mais rapidez que o preço do plano A. Então, existe um tempo x onde as retas se encontram, ou seja, existe um x onde 0,5x + 35 = 1,2x e 0,8x + 20 = 1,2x e 0,5x + 35 = 0,8x + 20 .
Resolvendo a primeira equação encontramos 35 = (1,2 - 0,5) x .
Logo x = 35 / (1,2 - 0,5) , o que implica em x = 35 / 0,7 = 350 / 7 = 50 minutos.
Concluindo, o plano A é mais vantajoso (menor custo) que os outros dois a partir de 50 minutos de uso mensal.

Sejam A = { 1, 2, 3 } e f : A® A definida por f(1) = 3, f (2) = 1 e f (3) = 2 . O conjunto solução de f(f (x)) = 3 é?

Solução: Temos: f(f(1)) = f(3) = 2 ; f(f(2)) = f(1) = 3 ; f(f(3)) = f(2) = 1.

Então, x = 2 e o conjunto solução é {2}.

Uma Função f de variável real satisfaz a condição f(x+1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da variável x. sabendo-se que f(2) = 1, podermos concluir que f(5) é igual a:

a) 1/2 b)1 c)5/2 d)5 e) 10

Solução: Pela definição temos: f(2) = f(1+1) = f(1) + f(1) = 1 , então, 2f(1) = 1. Segue que f(1) = 1/2 ;

f(3) = f(2+1) = f(2) + f(1) = 1 + 1/2 = 3/2 ;

f)4) = f(3+1) = f(3) + f(1) = 3/2 + 1/2 = 2 ;

f(5) = f(4+1) = f(4) + f(1) = 2 + 1/2 = 5/2 (opção c )

Se f é uma função tal que f(1) = 3 e f(x+y) = f(x) + f(y) para todos x e y reais, então f(3) vale:

a) 8 b) 6 c) 9 d) 10 e) 7

Solução: Pela definição: f(2) = f(1+1) = f(1) + f(1) = 3 + 3 = 6 ;

f(3) = f(2+1) = f(2) + f(1) = 6 + 3 = 9 (opção c ).

Sendo f e g funções reais tais que: f(2x-1)= 3x²- x + 25 e g(x-1)= 2x + 3, calcular o valor de f(g(-1)).

Solução: Pela definição do enunciado: g(-1) = g(0-1) = 2(0) + 3 = 3.

Então, calculamos a função composta f(g(-1)) = f(3) = f(4-1) = 3(2)²- 2 + 25 = 12 - 2 + 25 = 35.

Numa fábrica, o custo C de produção de x litros de certa substância é
dado pela função C(x), com x ³ 0, cujo gráfico está representado ao lado.
O custo de R$ 700,00 corresponde à produção de quantos litros?

Solução: O gráfico representa a função do primeiro grau: C(x) = ax + b.
Quando x = 0 , C(x) = 400. Quando x = 8 , C(x) = 520. Então, 400 = a(0) + b = b.
Segue que, 520 = 8a + b = 8a + 400. Assim, o coeficiente angular a = (520 - 400) / 8 = 120 / 8 = 15.
Logo, a equação da reta é: C(x) = 15x + 400. Se o custo é C(x) = 700, então, 15x + 400 = 700.
Segue que, x = (700 - 400) / 15 = 300 / 15 = 20. Concluindo: O custo de R$ 700,00 corresponde à produção de 20 litros.

Sejam as retas: y = 2x - 3 e y = x - 2. Em que ponto do plano cartesiano estas retas se encontram?

Solução: As retas se encontram no ponto (x , y),

Duas retas

onde o par de números reais x e y é solução do sistema de equações:

y = 2x - 3 e y = x - 2 .

Então: 2x - 3 = x - 2. segue que, 2x - x = -2 + 3 , o que implica em x = 1. Substituindo x = 1 em uma das equações do sistema, temos: y = 1 - 2 = -1. Logo, as retas se encontram no ponto (1 , -1).

Quais os valores de x que anulam a função definida por f(x) = x² - 2 x - 3 .

Solução: Temos uma função do segundo grau y = ax² + bx + c , onde a = 1, b = -2 e c = -3.

Resolvendo a equação do segundo grau x² - 2 x - 3 = 0 , encontramos estes valores.

Esta equação pode ser resolvida com a "fórmula de Bhaskara ou Baskara" x = , onde D = b² - 4ac.

Calculando o discriminante D (delta), encontramos: D = (-2)² - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16.

Como a raiz quadrada de 16 é 4, vem que: x = = (2 + 4) / 2 = 3, ou, x = = (2 - 4) / 2 = -1.

Assim, os valores de x que anulam f ( x ), são x = -1 , ou , x = 3.

parábola

Este valores são chamados de raízes ou zeros da função, pois, são os valores onde o gráfico toca o eixo x (eixo das abscissas). Observe também o termo independente c = -3, mostra onde a parábola corta o eixo y (eixo das ordenadas).

Uma bala é atirada de um canhão. A trajetória da bala descreve uma parábola de equação: y = -0,1x² + 15x (onde x e y são medidos em metros).

a) Determine, em metros, a altura máxima atingida pela bala.

b) Calcule , em metros, o alcance do disparo.

Solução: a) Seja a função do segundo grau y = ax² + bx + c , onde a, b e c são números reais e a ¹ 0.

O valor máximo (ou mínimo) desta função é o y do vértice da parábola, ou seja, y = - D / 4a , onde D = b² - 4ac.

Então, a altura máxima da bala é:

y = -[15² - 4(-0,1)(0)] / 4(-0,1) = -(225 - 0) / (-0,4) = -225 / -0,4 = 2250 / 4 = 562,5 m.

b) O alcance do disparo é a diferença entre as raízes da equação -0,1x² + 15x = 0.

Vem que: -0,1x² + 15x = x(-0,1x + 15) = 0. Então, x = 0 , ou , -0,1x + 15 = 0.

Logo as raízes são: x = 0 , ou , x = 15 / 0,1 = 150. Assim, o alcance do disparo é de 150 - 0 = 150 m.

Lançamento de projetil balístico.

Este procedimento é conhecido como lançamento de projetil.

O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças, é dado pela função: L(x) = -x² + 14x - 40. Quantas peças devem ser vendidas diariamente para que o lucro seja máximo?

Solução: Observando o vértice da parábola, temos que o valor de uma função f(x) = ax² + bx + c é máximo (ou mínimo) quando x é igual a média aritmética das raízes, ou seja , quando x = -b / 2a.

Então, L(x) = -x² + 14x - 40 tem valor máximo quando x = -14 / 2(-1) = 14 / 2 = 7.

Assim, devem ser vendidas 7 peças para que o lucro seja máximo.

parábola

De outro modo, observe que resolvendo a equação -x² + 14x - 40 = 0 , encontramos:

x = (-14 + 6) / (-2) = 4 , ou , x = (-14 - 6) / (-2) = 10.

Pela simetria da parábola, o lucro tem valor máximo quando x é igual a média aritmética das raízes.

Logo, para que o lucro seja máximo, devem ser vendidas (4 + 10) / 2 = 14 / 2 = 7 peças.

OBS: Este problema também poderia ser resolvido com o uso do Cálculo diferencial . Calculando a derivada da função encontramos y' = -2x + 14. A função tem valor máximo quando a derivada y' = 0 . Assim, resolvendo -2x + 14 = 0 encontramos x = 7 peças.

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