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(LICEU) O número de ouro, traduz a proporção geométrica mais conhecida e usada na pintura, escultura e arquitetura clássicas, renascentistas e pós-modernistas. Existem várias representações geométricas para se chegar a esse número, cujo valor corresponde à F = (1 + Ö5) / 2.
Uma delas é a razão entre o comprimento e a largura de um retângulo também chamado retângulo áureo, reconhecido como sendo a forma mais visualmente equilibrada e harmoniosa da natureza. O retângulo abaixo, representará um retângulo áureo, se o valor de x, corresponder à

(A) 5(Ö5 - 1)
(B) 6(Ö5 - 1)
(C) 5(Ö5 + 1)
(D) 6(Ö5 + 1)
Solução: Como a razão entre o comprimento e a largura é o número áureo, temos:

10/x = (1 + Ö5) / 2.

20 = x(1 + Ö5)

x = 20 / (1 + Ö5)

Racionalizando o denominador, segue que:

x = 20(1 - Ö5) / (1 + Ö5)(1 - Ö5)

x = 20(1 - Ö5) / (1 - 5)

x = -5(1 - Ö5)

x = 5(Ö5 - 1)

Assim, o resultado procurado está na opção (A).

(COLÉGIO MILITAR) O número inteiro positivo N, de dois algarismos, quando dividido por 15 dá quociente A e resto B e quando dividido por 8 dá quociente B e resto A. A soma de todos os valores de N é igual a:
(A) 112
(B) 144
(C) 160
(D) 255
(E) 336
Solução: Pelo algoritmo da divisão temos:

N = 15A + B , onde B pertence ao conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,..., 14} e

N = 8B + A, onde A pertence ao conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7}

Então, 15A + B = 8B + A

14A = 7B

2A = B

Logo, B é o dobro de A.

Substituindo os valores possíveis para A e B, em 15A + B ou em 8B + A, calculamos os valores de N.

Veja a tabela:

A 0 1 2 3 4 5 6 7
B 0 2 4 6 8 10 12 14
N 0 17 34 51 68 85 102 119

Como N tem dois algarismos, o valor procurado é:

17+34+51+68+85 = 255 (opção D).

Na figura abaixo  temos: AB = BC = AC = 10 cm ; M é ponto médio de AB ; CD = 12 cm.

Teorema de Menelaus

Qual á medida do segmento EC ?

Solução:

Vamos usar o método da construção:

problema de geometria resolvido por construção

Construindo um segmento MN paralelo ao segmento AC encontramos que os triangulos ABC e MBN são semelhantes e N é ponto médio de BC, ou seja, BN = NC = MN = BM = AM = 5 cm. De modo análogo, os triângulos MND e ECD são semelhantes. Portanto temos a proporção:

MN / EC = ND / CD , ou seja, 5 / EC = 17 / 12

Segue que, 60 = 17EC.

Então, EC = 60 / 17 = 3,53 cm.

Poderíamos, também, usar o Teorema de Menelaus:

Teoremas de Ceva e Menelaus

Assim, (12 / 22)×(5 / 5)×(AE / CE) = 1

Logo, AE / CE = 22 / 12 = 11 / 6 , ou melhor, AE / 11 = EC / 6 .

Como AE + CE = 10 cm, vem que , AE / 11 = EC / 6 = 10 / 17.

Logo, EC = 60 / 17 = 3,53 cm.

Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m². Quantos litros são necessários para pintar uma parede de 15 m²?
Solução: Quanto maior for área a ser pintada, maior será, na mesma proporção, a quantidade de tinta a ser usada (grandezas diretamente proporcionais) . Assim, temos a proporção:

14 / x = 35 / 15

210 = 35x

x = 210 / 35 =  6 litros.

(CAIP/IMES) Observe a figura abaixo:

A área dessa figura é de _______ cm2.

O perímetro dessa figura é de ______ cm.

(A) 43,56 cm2                   48,20 cm

(B) 48,40 cm2                   48,40 cm

(C) 53,24 cm2                0,60 cm

(D) 43,56 cm2                   48,40 cm

(E) 48,40 cm2                46,20 cm

Solução: Temos 10 quadrados. Cada quadrado tem 2,2×2,2 = 4,84 cm2 de área .

A área total é 10×4,84 = 48,4 cm2.

O perímetro (medida do contorno da figura) é 22×2,2 = 48,4 cm. (alternativa C)

(UFRJ) Seu Joaquim tem uma balança de tarar (balança de pratos) e uma coleção de "pesos" de 10, 30, 60 e 150 gramas. Ele colocou um saco de arroz de 1,31kg em um dos pratos da balança.

Determine o número mínimo de "pesos" que devem ser postos no outro prato para que a balança fique equilibrada.

Solução: O saco de arroz pesa 1,31kg = 1310 gramas. Como queremos determinar o número mínimo de "pesos", temos que usar o maior número de "pesos" de 150 gramas, depois, se for preciso, usar o maior número de "pesos" de 60 gramas, de 30 gramas, e assim sucessivamente.

Para equilibrar 1310g,  ao colocarmos 8×150 = 1200g ,  fica faltando 1310 - 1200 = 110g.

Para equilibrar 110g, colocamos mais 1×60 = 60g e ainda fica faltando 110 - 60 = 50g.

Para equilibrar 50g, colocamos 1×30 = 30 g e ainda fica faltando 50-30 = 20g.

Finalmente equilibramos 20 g com 2×10 = 20g e a balança fica equilibrada.

Portanto foi preciso 8 + 1 + 1 + 2 = 12 "pesos".

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