Um circuito elétrico de corrente alternada em
paralelo é ligado a uma fonte de 220V - 60Hz. Sabe-se que um dos ramos
do circuito contém 30 ohms de resistência elétrica e
40 ohms de reatância indutiva, e que o outro ramo apresenta 50 ohms
de resistência elétrica e 80 ohms de reatância capacitiva.
A impedância (oposição que um circuito oferece ao fluxo
de corrente alternada), em ohms, do ramo com reatância indutiva (do
indutor ou bobina L) pode ser expresso na forma do número complexo
Z1=30+40j, onde j2=-1. Na Física e na Engenharia
é usado, como unidade imaginária, o j no lugar do i para
evitar confusão com o i de corrente elétrica.
De modo análogo, a impedância, em ohms, do ramo com reatância
capacitiva (do capacitor C) pode ser dado na forma do número complexo
Z2=50-80j, onde j2=-1.
A impedância total Zt (ou impedância equivalente),
em ohms, de um circuito associado em paralelo é dado por:
Zt = (Z1×Z2) /
(Z1+Z2).
Qual o valor, em ohms, expresso na forma de números complexos, da
impedância total do circuito?
Solução: Esta é uma das inúmeras
aplicações dos números
complexos: representar uma grandeza escalar como uma grandeza vetorial
(vetor no plano), dada a conveniência desta medida.
Usando a propriedade distributiva, temos que
Z1×Z2 = (30 + 40j)(50 - 80j) = 4700 - 400j e
Z1+Z2 = 30 + 40j + 30 - 80j = 80 - 40j, onde
j2=-1. Então, Zt = (4700 - 400j) / (80 - 40j)
.
Multiplicando os termos da divisão pelo conjugado do divisor, observando
que j2=-1, ficamos com:
Zt = (4700 - 400j)(80 + 40j) / (80 - 40j)(80 + 40j) = (392000
+ 156000j) / (1600 + 6400).
Logo, Zt = (392000 + 156000j) / 8000 = 49 + (39/2)j = 49 + 19,5j,
onde j2=-1.
(UERJ) Sabendo-se que k é um número real
e que uma das raízes da equação x3 -
4x2 + 6x + k = 0 é 1+i.
a) calcule k ;
b) determine as demais raízes da equação.
Solução: a) Se o número
complexo 1 + i , onde i2 = -1, é uma raiz da
equação ,
então, (1 + i)3 - 4(1 + i)2 + 6 (1 + i) + k
= 0. Daí , vem que (1 + i)(1 + i)2 - 4(1 + i)2
+ 6(1 + i) + k = 0.
Como (1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 1 + 2i - 1 = 2i, a
equação fica (1 + i)(2i) - 4(2i) + 6(1 + i) + k = 0.
Isto implica em 2i - 2 - 8i + 6 + 6i + k = -6i + 4 + 6i + k = 4 + k = 0.
Logo, k = -4.
b) Se uma equação algébrica de coeficientes reais admite
como raiz o número complexo a + bi (b não nulo), então
também admite como raiz o conjugado de a + bi, ou seja, o número
complexo a - bi . Sejam x1, x2 e x3 as
raízes da equação x3 - 4x2 + 6x
- 4 = 0 . Como os coeficientes são reais, se x1 = 1 + i
, então x2 é um número complexo conjugado
de x1, ou seja, x2 = 1 - i.
Para uma equação do terceiro grau (cúbica),
da forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 , sendo x1
, x2 e x3 as raízes, temos as seguintes
relações de Girard :
x1
+ x2 + x3
= - b/a
x1.x2
+ x1.x3
+ x2.x3
= c/a
x1.x2.x3
= - d/a
Segue que, x1 + x2
+ x3 = 4 . Então, 1 + i + 1 - i + x3 = 4.
Segue que, 2 + 0 + x3 = 4 , logo , x3 = 2.
Assim, as
demais raízes são: x2 = 1- i e x3 = 2 .
(VUNESP) Considere o número complexo z = i , onde
i é a unidade imaginária. O valor de z4 +
z3 + z2 + z + 1/z é:
| (A) -1 |
(B) 0 |
(C) 1 |
(D) i |
(E) -i |
Solução: Temos que i é o número
imaginário, ou seja, i é um número tal que i² =
-1.
Como z é um número complexo e z
= i , vem que:
z4 + z3 + z2 + z + 1/z =
= i4 +
i3 + i2 + i + 1/i =
= (i²)2 + (i²)i
+ i² + i + 1/i =
= (-1)2 + (-1)i + (-1) + i + 1/i =
=
1 - i - 1 + i + 1/i = 1/i .
Multiplicando o numerador e o denominador por i, ficamos com:
1/i = 1(i) / i(i) =
= i / i² = i / (-1) = -i.
Logo, (E) é a alternativa correta.
(Cesgranrio)
O lugar geométrico dos pontos z do plano complexo tais que a parte
imaginária de z² é igual a 1 é um(a):
(A) ponto.
(B) reta.
(C) circunferência.
(D) parábola.
(E) hipérbole.
Solução: Seja z = x + yi , o
número complexo, onde x e y são
números reais e i² = -1.
Então, z² = (x + yi)²
=
= x² + 2xyi + y²i² =
= x² + 2xyi + y²(-1) =
= x²
+ 2xyi - y² =
= (x² - y²) + (2xy)i.
Como a parte imaginária de z² é igual a 1, vem que, 2xy
= 1, ou seja, y = 1 / 2x .
Logo, o lugar
geométrico dos pontos (x ; y) que satisfazem a equação
2xy = 1 é uma hipérbole.
A alternativa certa é a (E).
(UERJ) As contas correntes de um banco são codificadas
através de um número seqüencial seguido de um dígito
controlador. Esse dígito controlador é calculado conforme o
quadro:
A conta 643 - 5 , aberta na década de 80, foi
cadastrada no ano de:
(A) 1985
(B) 1986
(C) 1987
(D) 1988
Solução: Na conta 643 - 5 , temos: o
dígito controlador d = 5 ; o vetor (a,b,c) = (6,4,3) ; o vetor (y,z,w)
= (9,8,N), onde N é um número natural tal que 1
£ N
£ 10, pois a conta
foi aberta na década de 80.
Então o produto escalar (produto interno) é ay + bz + cw =
54 + 32 + 3N = 86 + 3N.
Como o dígito controlador d = 5 é o resto da divisão
do produto interno pela constante 11, usando o algoritmo da divisão,
segue que 86 + 3N = 11K + 5 , onde K e N são números naturais.
Daí, vem que 3N = 11K - 81. Portanto N = (11K - 81) / 3, onde K é
múltiplo de 3.
Como 1 £ N
£10, então
3 £ (11K - 81)
£ 30. Segue que
84 £ 11K
£ 111.
Como K é múltiplo de 3, então K só pode ser igual
a 9. Logo, N = (99 - 81) / 3 = 18 / 3 = 6.
Assim, a conta 643 - 5 , aberta nos anos 80, foi cadastrada no ano de 1986,
correspondendo a alternativa (B).
Dados os números complexos: z = 6 (cos 75o + i sen
75o) e w = 2 (cos 15o + i sen 15o), é
correto afirmar:
a) z + w = 8i b) z × w = 12
c) z × w = -12i
d) z / w = 3/2 + i(3Ö3)/2 e) z /
w = (3Ö3)/2 + i(3/2)
Solução: Para multiplicar dois números complexos não nulos, na forma polar (ou
trigonométrica), devemos multiplicar os módulos e somar os
argumentos (ângulos). Para dividir dois números complexos, não nulos, na
forma trigonométrica, devemos dividir os módulos e subtrair
os argumentos.
Multilicando os módulos e somando os argumentos,
temos:
z × w = 12 ( cos 90o + i sen 90o) = 12 (0
+ i) = 12i
Dividindo os módulos e subtraindo os argumentos encontramos:
z / w =
3 ( cos 60o + i sen 60o) = 3(1/2 + iÖ3/2) = 3/2 + i(3Ö3)/2 . A alternativa d) é a correta.
(UFMS) Quais os números complexos z que satisfazem a
equação abaixo?
Solução: Sendo z = x + yi, onde i2 = -1 , então
o conjugado de z é x - yi.
Substituindo na equação, ficamos com: x2 + 2xyi
- y2 = (-i)(x - yi).
Separando a parte real da parte imaginária, segue que, x2
+ y2 - y - i(2xy - x) = 0. Portanto temos o sistema:
Resolvendo a segunda equação encontramos x = 0 ou y = 1/2.
Substituindo x = 0 na primeira equação, encontramos y = 0 ou
y =1.
Substiuindo y = 1/2 na primeira equação encontramos x = 1/2.
Logo, os complexos procurados são: z = 0 , z = i ou z
= 1/2 + (1/2)i .
(MACKENZIE) No plano de Argand-Gauss, os complexos z tais que
são vértices de um polígono. Qual é a área
desse polígono?
Solução: Da primeira equação vem
que o conjugado de z é 9/z. Substituindo na segunda
equação temos (9/z)2 = z2. Então,
81 = z4.
Pelo Teorema de Moivre, z = 3 ou z = -3 ou z =3i ou z
= -3i, que são vértices de um quadrado de diagonal 3+3=6 e
lado 3Ö2.
Portanto a área deste polígono é (3Ö2)2
= 9×2 = 18 unidades de área.
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