(COLÉGIO NAVAL) No quadrado ABCD de área
S da figura abaixo, os pontos E e F são médios.
A área
da parte hachurada é:
a) 2S / 15
b) S / 5
c) 4S / 15
d) S / 3
e) 2S / 5
Solução: Para calcular a área
da parte hachurada (sombreada), vamos construir uma diagonal DB. Também vamos
construir vários segmentos paralelos ao segmento FC separados um do
outro pela distância IE, para enxergar as simetrias existentes no quadrado de área S = 4x2.
Calculando as áreas usando o Teorema de Pitágoras e a lei dos
senos:
(DE)2 = x2 + 4x2
DE = DF = x Ö5
tg a = x / 2x = ½
cos a = 2x / x Ö5 = 2 / Ö5;
sen2 a + cos2 a = 1
sen a = 1/ Ö5
DI = DH = (4/5)DE
Área do triângulo DCI = (DC)×(DI)×(1/2)×sen a
Área do triângulo DCI = Área do triângulo ADH =
4x2 / 5.
Como BG é um 1/3 da diagonal do quadrado de lado 2x e sen 45°
= Ö(2) / 2 , então:
Área do triângulo ABG =(AB)×(BG)×(1/2)×Ö(2) / 2.
Área do triângulo ABG = Área do triângulo
CBG = 2x2 / 3
Segue que 2×(2x2 / 3) + 2×(4x2 / 5) =
44x2 / 15.
Assim a área procurada é 4x² - 44x2 / 15 =
16x2 / 15 = 4S / 15 (opção C)
(EFOMM) Qual é o número inteiro cujo
produto por 9 é um número natural composto apenas pelo algarismo
1 ?
(A) 123459 (B) 1234569
(C) 12345679 (D) 12345789
(E) 123456789
Solução: Um número é divisível por 9 quando
a soma de seus algarismos resultar um número múltiplo de 9.
Temos que 1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 9.
Como nas alternativas o maior número
tem 9 algarismos, o número procurado é 111111111
/ 9 = 12345679 (alternativa C) .
(EFOMM) Numa embarcação é comum ouvirem-se determinados
tipos de sons. Suponha que o nível sonoro b e a
intensidade I de um desses sons esteja relacionado com a
equação logarítmica b = 12 +
log10I , em que b é medido
em decibéis e I em watts por metro quadrado. Qual é
a razão I1 / I2 , sabendo-se que
corresponde ao ruído sonoro de 8 decibéis de uma
aproximação de dois navios e que corresponde a 6 decibéis
no interior da embarcação?
(A) 0,1
(B) 1
(C) 10
(D) 100
(E) 1000
Solução: Temos que 8 = 12 + log I1 , onde
log I1 é o logaritmo de I1 na base 10.
Segue que, -4 = log I1. Pela definição de
logaritmos I1 =
10-4 .
De modo análogo, vem que 6 = 12 + log I2 .
Então, -6 = log I2 , o que implica em I2 =
10-6 .
Assim a razão é I1 / I2 =
10-4 / 10-6 = 10-4+6 =102
= 100 . (resposta D).
(EFOMM) Durante uma visita turística ao Ver-o-Peso
em Belém-Pa, alguns turistas estavam à procura do tão
conhecido Açaí, fruta típica do Pará, e dos pratos
típicos saborosos: tacacá e maniçoba extremamente consumidos
na região Norte, para degustarem. Um grupo sentou-se a uma mesa e
consumiu 9 tigelas de açaí, 7 cuias de tacacá e 6 pratos
de maniçoba totalizando um valor R$ 52,50. Outro grupo, em outra mesa,
consumiu 5 tigelas de açaí, 4 cuias de tacacá e 3 pratos
de maniçoba, totalizando um valor R$ 25,00. Considerando esses valores,
então o consumo de 2 tigelas de açaí, 1 de tacacá
e 3 pratos de maniçoba totaliza um valor de :
(A) R$ 32,50.
(B) R$ 41,00.
(C) R$ 30,50.
(D) R$ 45,50. (E)
R$ 50,00.
Solução: Sendo a o número de tigelas de açaí,
t o número de cuias de tacacá, m o número de pratos
de maniçoba e x o valor procurado, temos o sistema de
equações:
9a + 7t + 6m = 52,50
5a + 4t + 3m = 25
2a + t + 3m = x.
Multiplicando a primeira equação por 4 e a segunda por 7, em
seguida subtraindo uma da outra, encontramos:
a + 0 + 3m = 210 - 175 = 35 (*).
Multiplicando a segunda equação por 2 e depois subtraindo da
primeira, ficamos com:
a + t + 0 = 50 - 52,50 = - 2,50. (**)
Somando a equação (*) com a equação (**), segue:
a + 3m + a + t = 2a + t + 3m = 35 - 2,50 = 32,50.
Assim, o valor procurado é x = R$ 32,50 (opção A).
(EFOMM) Um copo com o formato cilindro circular reto,
cujo diâmetro interno mede 4cm está cheio de jacuba (suco de
sabor não identificável) até a borda. Inclinando esse
corpo, despeja-se o líquido nele contido até que atinja a marca
que dista da borda, 16 / p cm.
O volume do líquido despejado
é
(A) 16cm3
(B) 20cm3 (C)
32cm3 (D) 64cm3
(E) 80cm3
Solução: O volume do líquido despejado é a metade do volume
do cilindro de altura h = 16 / p cm e raio da base r = 2 cm.
Calculando a área da base (área do
círculo) temos: Ab = pr2 = p×22 = 4p
cm2.
Assim, o volume do cilindro é V = Ab×h = (4p
)(16 / p
) = 64 cm3.
Logo, o resultado procurado é 64 / 2 = 32cm3
(alternativa C).
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