(COLÉGIO NAVAL) No quadrado ABCD de área
S da figura abaixo, os pontos E e F são médios.
A área
da parte hachurada é:
a) 2S / 15
b) S / 5
c) 4S / 15
d) S / 3
e) 2S / 5
Solução: Vamos construir uma diagonal DB. Também vamos
construir vários segmentos paralelos ao segmento FC separados um do
outro pela distância IE, para enxergar as simetrias existentes no quadrado de área S = 4x2.
Calculando as áreas usando o Teorema de Pitágoras e a lei dos
senos:
(DE)2 = x2 + 4x2
DE = DF = x Ö5
tg a = x / 2x = ½
cos a = 2x / x Ö5 = 2 / Ö5;
sen2 a + cos2 a = 1
sen a = 1/ Ö5
DI = DH = (4/5)DE
Área do triângulo DCI = (DC)×(DI)×(1/2)×sen a
Área do triângulo DCI = Área do triângulo ADH =
4x2 / 5.
Como BG é um 1/3 da diagonal do quadrado de lado 2x e sen 45°
= Ö(2) / 2 , então:
Área do triângulo ABG =(AB)×(BG)×(1/2)×Ö(2) / 2.
Área do triângulo ABG = Área do triângulo
CBG = 2x2 / 3
Segue que 2×(2x2 / 3) + 2×(4x2 / 5) =
44x2 / 15.
Assim a área procurada é 4x² - 44x2 / 15 =
16x2 / 15 = 4S / 15 (opção C)
(EFOMM) Qual é o número inteiro cujo
produto por 9 é um número natural composto apenas pelo algarismo
1 ?
(A) 123459 (B) 1234569
(C) 12345679 (D) 12345789
(E) 123456789
Solução: Um número é divisível por 9 quando
a soma de seus algarismos resultar um número múltiplo de 9.
Temos que 1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 9.
Com nas alternativas o maior número
tem 9 algarismos, o número procurado é 111111111
/ 9 = 12345679 (alternativa C) .
(EFOMM) Numa embarcação é comum ouvirem-se determinados
tipos de sons. Suponha que o nível sonoro b e a
intensidade I de um desses sons esteja relacionado com a
equação logarítmica b = 12 +
log10I , em que b é medido
em decibéis e I em watts por metro quadrado. Qual é
a razão I1 / I2 , sabendo-se que
corresponde ao ruído sonoro de 8 decibéis de uma
aproximação de dois navios e que corresponde a 6 decibéis
no interior da embarcação?
(A) 0,1
(B) 1
(C) 10
(D) 100
(E) 1000
Solução: Temos que 8 = 12 + log I1 , onde
log I1 é o logaritmo de I1 na base 10.
Segue que, -4 = log I1. Pela definição de
logaritmos I1 =
10-4 .
De modo análogo, vem que 6 = 12 + log I2 .
Então, -6 = log I2 , o que implica em I2 =
10-6 .
Assim a razão é I1 / I2 =
10-4 / 10-6 = 10-4+6 =102
= 100 . (resposta D).
(EFOMM) Durante uma visita turística ao Ver-o-Peso
em Belém-Pa, alguns turistas estavam à procura do tão
conhecido Açaí, fruta típica do Pará, e dos pratos
típicos saborosos: tacacá e maniçoba extremamente consumidos
na região Norte, para degustarem. Um grupo sentou-se a uma mesa e
consumiu 9 tigelas de açaí, 7 cuias de tacacá e 6 pratos
de maniçoba totalizando um valor R$ 52,50. Outro grupo, em outra mesa,
consumiu 5 tigelas de açaí, 4 cuias de tacacá e 3 pratos
de maniçoba, totalizando um valor R$ 25,00. Considerando esses valores,
então o consumo de 2 tigelas de açaí, 1 de tacacá
e 3 pratos de maniçoba totaliza um valor de :
(A) R$ 32,50.
(B) R$ 41,00.
(C) R$ 30,50.
(D) R$ 45,50. (E)
R$ 50,00.
Solução: Sendo a o número de tigelas de açaí,
t o número de cuias de tacacá, m o número de pratos
de maniçoba e x o valor procurado, temos o sistema de
equações:
9a + 7t + 6m = 52,50
5a + 4t + 3m = 25
2a + t + 3m = x.
Multiplicando a primeira equação por 4 e a segunda por 7, em
seguida subtraindo uma da outra, encontramos:
a + 0 + 3m = 210 - 175 = 35 (*).
Multiplicando a segunda equação por 2 e depois subtraindo da
primeira, ficamos com:
a + t + 0 = 50 - 52,50 = - 2,50. (**)
Somando a equação (*) com a equação (**), segue:
a + 3m + a + t = 2a + t + 3m = 35 - 2,50 = 32,50.
Assim, o valor procurado é x = R$ 32,50 (opção A).
(EFOMM) Um copo com o formato cilindro circular reto,
cujo diâmetro interno mede 4cm está cheio de jacuba (suco de
sabor não identificável) até a borda. Inclinando esse
corpo, despeja-se o líquido nele contido até que atinja a marca
que dista da borda, 16 / p cm.
O volume do líquido despejado
é
(A) 16cm3
(B) 20cm3 (C)
32cm3 (D) 64cm3
(E) 80cm3
Solução: O volume do líquido despejado é a metade do volume
do cilindro de altura h = 16 / p cm e raio da base r = 2 cm.
Calculando a área da base (área do
círculo) temos: Ab = pr2 = p×22 = 4p
cm2.
Assim, o volume do cilindro é V = Ab×h = (4p
)(16 / p
) = 64 cm3.
Logo, o resultado procurado é 64 / 2 = 32cm3
(alternativa C).
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