Prof. Ezequias - Matemática

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(COLÉGIO MILITAR) Considere a base de um retângulo cuja superfície tem área S. Se a base for aumentada de 20% e sua altura diminuída de 20%, o valor da nova área do retângulo é:
(A) 1,04 S
(B) 1,02 S
(C) S
(D) 0,90 S
(E) 0,96 S

Solução: Temos que S = bh, onde b é a base e h é a altura.

Da Matemática financeira vem que aumentar 20% é o mesmo que multiplicar por 1,2.

Diminuir de 20% é o mesmo que multiplicar por 0,8.

Então, a nova área do retângulo é 1,2b×0,8h = 0,96bh = 0,96S (alternativa E).

(COLÉGIO MILITAR) Sabe-se que, sob um certo ângulo de tiro, a altura atingida por uma bala, em metros, em função do tempo, em segundos, é dada por h(s) = -20s²+ 200s. Qual a altura máxima atingida pela bala?
( A) 4000 m
( B) 5000 m
(C) 400 m
(D) 220 m
(E) 500 m

Solução: A função h(s) é uma função do segundo grau que tem valor máximo em -D / 4a.

Como D = (200)²- 4(-20)(0) = 40000, segue que, a altura máxima atingida pela bala é:

-40000 / 4(-20) = -40000 / -80 = 500 m.

(CEFET) Mateus tem um sonho que é estudar no CEFET-MA. Indagado por um amigo que queria saber sua idade, ele respondeu em forma de problema dizendo o seguinte: “A minha idade daqui a 4 anos, multiplicada pela idade que eu tinha há 7 anos, é igual a 5 vezes a minha idade atual aumentada de 5”. Qual a idade atual de Mateus?
(a) 12 anos.
(b) 11 anos.
(c) 13 anos.
(d) 14 anos.
(e) 15 anos.

Solução: Sendo x a idade de Mateus, temos:

(x+4)(x-7) = 5x +5

x²-7x + 4x - 28 = 5x + 5

x²- 8x - 33 = 0.

Resolvendo esta equação do segundo grau:

D = 64 - 4(1)(-33) = 64 + 132 = 196.

Como a raíz quadrada de 196 é 14 e x é positivo, segue que:

x = (8 + 14) / 2 = 22/2 = 11.

A resposta procurada está na alternativa (b) 11 anos.

(CEFET) Uma região retangular tem 36 m² de área. Aumentando 1 metro no comprimento e 1 metro na largura, a nova região retangular passa a ter 50m² de área. O perímetro da primeira região é de:
(a) 26m
(b) 28m
(c) 24m
(d) 30m
(e) 22m

Solução: Se o retângulo tem base x e altura y, então a área vale xy = 36.

logo, (x+1)(y+1) = 50

xy + x + y + 1 = 50

36 + x + y + 1 = 50

x + y = 50 - 37 = 13.

Assim, o perímetro da região retangular é:

2x + 2y = 2(x+y) = 2(13) = 26 m.

A resposta procurada está na alternativa (a).

(ENEM) A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.

Fonte: ‘‘Perspectivas da População Mundial’’. ONU, 2009. Disponível em: www.economist.com. Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado).

I) Suponha que o modelo exponencial y = 363e^0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e^0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre
(a) 490 e 510 milhões.
(b) 550 e 620 milhões.
(c) 780 e 800 milhões.
(d) 810 e 860 milhões.
(e) 870 e 910 milhões.

II) Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na população dos países desenvolvidos, será um número mais próximo de
(a) 1/2
(b) 7/20
(c) 8/25
(d) 1/5
(e) 3/25

Solução: I) Usando este modelo exponencial de crescimento populacional, temos que x = 30 corresponde ao ano de 2030.

Para x = 30, y = 363e^0,03(30), onde e = 2,718... (base neperiana ou número de Euler).

Como 0,03×30 = 0,03×3×10 = 0,3×3 e e^0,3 = 1,35, segue que,

y = 363(e^0,3)³ = 363(1,35)³ = 363×2,460 = 893,1

Assim, a população com 60 anos de idade ou mais, em 2030, em milhões, será 893 aproximadamente (opção e).

II) Como: 1/2=50% ; 7/20=35% ; 8/25=32% ; 1/5=20% ; 3/25=12%.

Então, olhando para o gráfico da população mundial, em 2050, a probabilidade será, aproximadamente, 32% = 8/25 (alternativa c).

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