Prof. Ezequias - Matemática

Na figura abaixo temos: AB = BC = AC = 10 cm ; M é ponto médio de AB ; CD = 12 cm.

Teorema de Menelaus

Qual á medida do segmento EC ?

Solução:

Vamos usar o método da construção:

problema de geometria resolvido por construção

Construindo um segmento MN paralelo ao segmento AC encontramos que os triangulos ABC e MBN são semelhantes e N é ponto médio de BC, ou seja, BN = NC = MN = BM = AM = 5 cm. De modo análogo, os triângulos MND e ECD são semelhantes. Portanto temos a proporção:

MN / EC = ND / CD , ou seja, 5 / EC = 17 / 12

Segue que, 60 = 17EC.

Então, EC = 60 / 17 = 3,53 cm.

Poderíamos, também, usar o Teorema de Menelaus:

Teoremas de Ceva e Menelaus

Assim, (12 / 22)×(5 / 5)×(AE / CE) = 1

Logo, AE / CE = 22 / 12 = 11 / 6 , ou melhor, AE / 11 = EC / 6 .

Como AE + CE = 10 cm, vem que , AE / 11 = EC / 6 = 10 / 17.

Logo, EC = 60 / 17 = 3,53 cm.

Seja a função quadrática f(x) = ax² + bx + 3, em que f(2)= f(-2) e f(1) = ½.
Nessa condições determine o valor de f(-4).

Solução: Temos

4a + 2b + 3 = 4a - 2b + 3

a + b + 3 = 1/2.

Da primeira equação, b = 0.

Substituindo b = 0 na segunda equação,. seque que:

a + 3 = 1/2

2a + 6 = 1

a = -5/2

Então a função é f(x) = (-5/2)x² + 3 ,

onde, f(-4) = (-5/2).16 + 3 = -40 + 3 = -37.

Um terreno retangular de área 875m² tem o comprimento excedendo em 10m na largura. Indique a equação que representa o problema.

Solução: Área do terreno é A(x) = x.(x+10) = 875.

x²+ 10x = 875

x² + 10x - 875 = 0

Seja a função quadrática f(x) = x² - 6x + m + 1 , com m + 1 pertencente ao conjunto dos números reais. Determine m de modo que f:

a) não possua raiz real.

b) possua duas raíses reais distintas .

Solução: a) D = b² - 4ac < 0

36 - 4(1)(m + 1) = 36 - 4m - 4 < 0

32 - 4m < 0

- 4m < - 32

4m > 32

m > 8

b) D = b² - 4ac > 0

36 - 4(1)(m + 1) = 36 - 4m - 4 > 0

32 - 4m > 0

- 4m > - 32

4m > 32

m > 8

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