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(CESPE) Um posto de abastecimento de combustíveis vende gasolina comum (GC), álcool anidro (AA) e óleo dísel (OD). Em uma pesquisa realizada com 200 clientes, cada entrevistado declarou que seus veículos consomem pelo menos um dos produtos citados, de acordo com a tabela abaixo.

Produto

Quantidade de clientes proprietários de veículos que consomem o produto

GC

120

AA

75

GC e OD

60

AA e OD

50

GC e AA

30

GC, AA e OD

20

Considerando essas informações e que cada veículo consome apenas um tipo de combustível, é correto afirmar que:

26) 35 clientes possuem apenas veículos que consomem OD.

27) Pelo menos dois produtos são consumidos pelos veículos de mais de 120 clientes.

28) 10 clientes possuem mais de um veiculo, sendo pelo que menos um desses veículos consome GC e outro consome AA, mas não possuem nenhum veículo que consome OD.

Solução: Vamos construir um dagrama de Venn-Euler representando os 3 conjuntos GC, AA e OD. Começamos sempre colocando o número de elementos da intersecção. Ao colocar o número de elementos de um conjunto, não podemos esquecer de descontar os da intersecção.

50 + 10 + 15 + 40 + 20 + 30 + x = 200

165 + x = 200

x = 35.

Assim, o item 26) está CERTO, pois, 35 clientes possuem apenas veículos que consome OD.

Como, 40 + 20 + 30 + 10 = 100 clientes possuem veículos que consomem pelo menos dois (dois ou mais) produtos, então, o item 27) está ERRADO.

Observe, no diagrama, que 10 clientes possuem veículos que consomem GC e AA, mas não possuem nenhum veículo que consome OD. Logo, o item 28) está CERTO.

Concluindo, o gabarito é 26) C; 27) E e 28) C.

(PUC) Joel e Jane fazem parte de um grupo de dez atores: 4 mulheres e 6 homens. Se duas mulheres e três homens forem escolhidos para compor o elenco de uma peça teatral, a probabilidade de que Joel e Jane, juntos, estejam entre eles é:

(A) 3/4                        (B) 1/2                          (C) 1/4                             (D) 1/6                           (E) 1/8

Solução: Pela análise combinatória temos:

Número de casos possíveis = escolher 2 de 4 mulheres e escolher 3 de 6 homens =

C4,2 × C6,3 = 6 × 20 = 120

Números de casos favoráveis = escolher 1 de 3 mulheres e escolher 2 de 5 homens =

C3,1 × C5,2 = 3 × 10 = 30

Assim, a probabilidade procurada é: P = 30/120 = 1/4 = 0,25 = 25%

Logo a resposta está na alternativa C)

(UNESP) Lançando-se simultaneamente dois dados não viciados, a probabilidade de que suas faces superiores exibam soma igual a 7 ou 9 é:

(A) 1/6                         (B) 4/9                             (C) 2/11                         (D) 5/18                            (E) 3/7

Solução: A probabilidade de dar resultado 7 é de 6 chances num total de 36, ou seja, 6/36 = 16,6%.

A probabilidade de dar resultado 9 é de 4 chances em um total de 36 resultados, ou seja, 4/36 = 11,1%.

Assim, a probabilidade de dar 7 ou de dar 9 é 6/36 + 4/36 = 10/36 = 5/18 = 0,277... = 27,7% (opção D).

(Cesgranrio) Uma urna contém 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Duas bolas, escolhidas ao acaso, são sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de que ambas sejam brancas vale:

(A) 1/6                           (B) 2/9                                  (C) 4/9                              (D) 16/81                         (E) 20/81

Solução: Da análise combinatória:

Número de casos favoráveis = 4 × 3 = 12 ;

Número de casos possíveis = 9 × 8 = 72 .

A probabilidade de que ambas sejam brancas é: 12/72 = 1/6 = 16,6% (alternativa A).

Uma bala é atirada de um canhão. A trajetória da bala descreve uma parábola de equação:
y = -3x2 + 60x (onde x e y são medidos em metros).

a) Calcule o alcance do disparo.

b) Qual é a altura máxima atingida pela bala?

Solução: a) Temos que resolver a equação: -3x2 + 60x = 0 para encontrar o alcance do disparo (diferença entre as raízes da função ).

Calculando o valor do discriminante Delta:

D = 602 - 4(-3)(0) = 3600.

Como a raiz quadrada de 3600 é 60, segue que:

x = (-60 + 60) / -6 = 0

ou

x = (-60 - 60) / -6 = -120 / -6 = 20

Logo o alcance da bala é 20 - 0 = 20 m.

b) Altura  é o y da coordenada do vértice da parábola.

y = -D / 4a = -3600 / -12 = 300.

Assim, a altura máxima da bala é 300 m.

 Esboço de um lançamento de projetil

(CESCEM) A área da intersecção de um plano com uma bola de raio 13 é 144p. A distância do plano ao centro da bola é:

a) 1             b) 5                  c) 8                 d) 12                 e) 25

Solução: Sejam: R o raio da esfera (bola), r o raio do círculo (seção produzida pelo plano na esfera), da distância do plano ao centro da esfera. Pelo Teorema de Pitágoras temos:

R2 = r2 + d2

132 = 122 + d2

d2 = 169 - 144 = 25

d = 5 (opção b)

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