Prof. Ezequias - Matemática

(PUC-MG) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias após t horas é dado pela função n(t) = 100 · (2)^t/3.Nessas condições, pode-se afirmar que a população será de 51.200 bactérias depois de:
(A) 1 dia e 3 horas.
(B) 1 dia e 9 horas.
(C) 1 dia e 14 horas.
(D) 1 dia e 19 horas.

Solução: Temos que resolver a equação exponencial:

51200 = 100 · (2)^t/3.

Então: 512 = (2)^t/3

Fatorando 512, encontramos

512 = 2⁹ = (2)^t/3 .

Como nos dois membros da equação temos potências de mesma base (base 2), igualamos os expoentes e resolvemos:

9 = t/3.

Logo, t = 27 horas = 24 horas + 3 horas = 1 dia e 3 horas (opção A)

Uma bala é atirada de um canhão. A trajetória da bala descreve uma parábola de equação:
y = -3x² + 60x (onde x e y são medidos em metros).

a) Calcule o alcance do disparo.

b) Qual é a altura máxima atingida pela bala?

Solução: a) Temos que resolver a equação: -3x²+ 60x = 0 para encontrar o alcance do disparo (diferença entre as raízes da função ).

Calculando o valor do discriminante Delta:
D = 60² - 4(-3)(0) = 3600.
Como a raiz quadrada de 3600 é 60, segue que:
x = (-60 + 60) / -6 = 0
ou
x = (-60 - 60) / -6 = -120 / -6 = 20
Logo o alcance da bala é 20 - 0 = 20 m.
b) Altura é o y da coordenada do vértice da parábola.
y = -D / 4a = -3600 / -12 = 300.
Assim, a altura máxima da bala é 300 m.
Esboço de um lançamento de projetil

(CESCEM) A área da intersecção de um plano com uma bola de raio 13 é 144p. A distância do plano ao centro da bola é:

a) 1 b) 5 c) 8 d) 12 e) 25

Solução: Sejam: R o raio da esfera (bola), r o raio do círculo (seção produzida pelo plano na esfera), da distância do plano ao centro da esfera. Pelo Teorema de Pitágoras temos:

R²= r²+ d²

13²= 12² + d²

d²= 169 - 144 = 25

d = 5 (opção b)

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