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(ENEM) Imagine uma eleição envolvendo 3 candidatos A, B, C e 33 eleitores (votantes). Cada eleitor vota fazendo uma ordenação dos três candidatos. Os resultados são os seguintes: A primeira linha do quadro descreve que 10 eleitores escolheram A em 1º lugar, B em 2º lugar, C em 3º lugar e assim por diante.

tabela de votantes

Considere o sistema de eleição no qual cada candidato ganha 3 pontos quando é escolhido em 1º lugar, 2 pontos quando é escolhido em 2º lugar e 1 ponto se é escolhido em 3º lugar. O candidato que acumular mais pontos é eleito. Nesse caso,

(A) A é eleito com 66 pontos.      

(B) A é eleito com 68 pontos.

(C) B é eleito com 68 pontos

(D) B é eleito com 70 pontos.

(E) C é eleito com 68 pontos.


Solução: Pela tabela temos:

O número de pontos de A  é 3×10 + 3×4 + 2×2 + 1×7 + 2×3 + 1×7 = 30 + 12 + 4 + 7 + 6 + 7 = 66 pontos.

O número de pontos de B  é 2×10 + 1×4 + 3×2 + 3×7 + 1×3 + 2×7 = 20 + 4 + 6 + 21 + 3 + 14 = 68 pontos.

O número de pontos de C é 1×10 + 2×4 + 1×2 + 2×7 + 3×3 + 3×7 = 10 + 8 + 2 + 14 + 9 + 21 = 64 pontos.

Assim, o eleito foi o candidato B com 68 pontos. Logo, a alternativa correta é a opção (C).



(UNICAMP) Uma mesa de quatro pernas pode oscilar. Já uma mesa de três pernas está sempre firme. Explique.
Solução: A Geometria nos diz que "Três pontos não colineares, no espaço, determinam um único plano".

O tripé e o postulado da determinação.

Isso significa que por três pontos não situados numa mesma Reta (ou por três pontos não alinhados) passa só um plano que os possui. Assim, as três pernas determinam sempre um único plano de fixação, portanto, não há oscilação.

Já quatro pernas determinam mais de um plano. Pela Análise combinatória, o número de planos determinados pelos quatro pontos é o número de combinações de 3 pontos escolhidos entre 4 pontos, ou seja, é C4,3 =  4×3×2 / 3! = 4 planos. Logo, neste caso pode ocorrer oscilação.



O cálculo da área de figuras em um plano cartesiano tem sido uma ferramenta muito importante na Engenharia, Estatística, Física e Economia. Calcule as áreas das superfícies sombreadas das figuras abaixo (considere o cm como unidade):

(I)Área sob uma curva (II)Área sob uma curva (integral)


Solução: No plano cartesiano (I), a figura é formada por 8 retângulos.
Calculando as áreas dos 8 retângulos, obtemos:
A1 = 1 × 4 = 4 cm² ; A2 = 1 × 2 = 2 cm² ; A3 = 1 × 3 = 3 cm² ; A4 = 1 × 5 = 5 cm² ;
A5 = 1 × 3 = 3 cm² ; A6 = 1 × 4 = 4 cm²; A7 = 1 × 1 = 1 cm² ; A8 = 1 × 2 = 2 cm².
A área total A = 4 + 2 + 3 + 5 + 3 + 4 + 1 + 2 = 24 cm².

No plano cartesiano (II), a figura é formada por 1 retângulo e 2 triângulos.
O cálculo da área do retângulo é A1 = 6 × 3 = 18 cm².
A área do triângulo é A2 = 2 × 2 / 2 = 2 cm².
A área do outro triângulo é A3 = 1 × 3 / 2 = 3 / 2 = 1,5 cm².
Assim, a área total é A = 18 + 2 + 1,5 = 21,5 cm².



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